সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩২

৩২ $3+6+9+12+ \cdots \cdots \cdots$

• (ক) প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারার $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $630$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারার ১ম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি গুণোত্তর ধারা তৈরি কর এবং ধারাটির ১ম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

এখানে, $n = 20$

$\therefore$ প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি,

$S_{20} = \dfrac{20(20+1)}{2}$

$= \dfrac{20 \times 21}{2}$

$= 10 \times 21$

$= 210$

সুতরাং, প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $210$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $3+6+9+12+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 6 - 3 = 9 - 6 = 3$

ধরি, ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = 630$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = 630$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2(3)+(n-1)3\} = 630$

বা, $\dfrac{n}{2} \{6+3n-3\} = 630$

বা, $n \{3n+3\} = 630 \times 2$

বা, $3n^2+3n = 1260$

বা, $3n^2+3n-1260 = 0$

উভয়পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $n^2+n-420 = 0$

বা, $n^2+21n-20n-420 = 0$

বা, $n(n+21) - 20(n+21) = 0$

বা, $(n+21)(n-20) = 0$

হয়, $n+21 = 0$

$\therefore n = -21$

অথবা, $n-20 = 0$

$\therefore n = 20$

যেহেতু পদসংখ্যা $n$ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -21$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় $n$ এর মান $20$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের সমান্তর ধারা হতে পাই,

প্রথম পদ, $a = 3$

এবং সাধারণ অন্তর, $d = 3$

শর্তমতে, নতুন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, $a' = a = 3$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = d = 3 > 1$

অতএব, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: $a' + a'r + a'r^2 + \cdots \cdots$

$= 3 + (3 \times 3) + (3 \times 3^2) + \cdots \cdots$

$= 3 + 9 + 27 + \cdots \cdots$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a'(r^n - 1)}{r - 1}$    [যেহেতু $r > 1$]

$\therefore$ ধারাটির ১ম $10$টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{3(3^{10} - 1)}{3 - 1}$

$= \dfrac{3(59049 - 1)}{2}$

$= \dfrac{3 \times 59048}{2}$

$= 3 \times 29524$

$= 88572$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি $3 + 9 + 27 + \cdots \cdots$ এবং এর ১ম $10$টি পদের সমষ্টি $88572$। Answer

Previous See All Next