My All Garbage

Shuchi Potro
সাধারণ জ্ঞান অ্যাসাইনমেন্ট-২০২১ বাংলা রচনা সমগ্র ভাবসম্প্রসারণ তালিকা অনুচ্ছেদ চিঠি-পত্র ও দরখাস্ত প্রতিবেদন প্রণয়ন সারাংশ সারমর্ম খুদে গল্প ব্যাকরণ Composition / Essay Paragraph Letter, Application & Email Dialogue List Completing Story Report Writing Graphs & Charts English Note / Grammar পুঞ্জ সংগ্রহ বই পোকা হ য ব র ল তথ্যকোষ পাঠ্যপুস্তক CV & Job Application বিজয় বাংলা টাইপিং My Study Note আমার কলম সাফল্যের পথে
About Contact Service Privacy Terms Disclaimer Earn Money


বাংলাদেশের সবচেয়ে বড় শিক্ষা সহায়ক ওয়েব সাইট

SSC : গণিত : ৩য় সপ্তাহ : ২০২১

১।
(ক) ১০ম চিত্রটি গঠন কর ও কয়েন সংখ্যা নির্ণয় কর। (তথ্যের আলোকে চিত্র গঠন করবে ও কয়েন সংখ্যা বসাবে)

(খ) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে $n$ তম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় কর। (সারির কয়েন সংখ্যা পর্যবেক্ষণ করে সাধারণ সূত্র গঠন করবে।)

২।
(ক) $n=5$ হলে ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় কর এবং ছক থেকে দেখাও যে, $n=1,2,3,4$ এর আলোকে $n$ তম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $2^n$কে সমর্থন করে। (তথ্যের আলোকে ২য় কলামের সংখ্যাগুলো গঠন ও সংখ্যাগুলোর সমষ্টি পর্যবেক্ষণ করবে।)

(খ) প্রত্যেক সারির সমষ্টিগুলোকে নিয়ে একটি ধারা তৈরি কর এবং কতগুলো সারির সমষ্টিগুলোর সমষ্টি $2046$ হবে? (সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করবে।)

৩।
$\textstyle\sum_{k=1}^nk^3=784$, যেখানে $n\in\mathbb{N}$ হলে, $\textstyle\sum_{k=1}^nk^2$ এর মান নির্ণয় কর।
  • $n\in\mathbb{N}$ এর জন্য স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির ধারা গঠন করবে।
  • স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্রে $n$ এর মান বসাবে।

নমুনা সমাধান

১নং প্রশ্নের উত্তার

(ক) 
১নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=1$
২নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=3$
৩নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=6$
৪নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=10$

এখানে,
১ ও ২নং চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য $(3-1)=2$
২ ও ৩নং চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য $(6-3)=3$
৩ ও ৪নং চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য $(10-6)=4$

অর্থাৎ, পরপর দুটি চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য স্বাভাবিক সংখ্যার ক্রমানুসারে বাড়ছে।

এখানে,
৫নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $10+5=15$

৬নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $15+6=21$

৭নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $21+7=28$

৮নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $28+8=36$

৯নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $36+9=45$

১০নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $45+10=55$


         ০
        ০০
       ০০০
      ০০০০
     ০০০০০
    ০০০০০০
   ০০০০০০০
  ০০০০০০০০
 ০০০০০০০০০
০০০০০০০০০০

∴ ১০ম চিত্রে কয়েন সংখ্যা $55$

(খ)
প্রদত্ত তত্যের আলোকে $n$ তম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করা হলো-

১নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=1=\frac{1\left(1+1\right)}2$

২নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=2=\frac{2\left(2+1\right)}2$

৩নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=3=\frac{3\left(3+1\right)}2$

৪নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=4=\frac{4\left(4+1\right)}2$

এখানে,
যেকোনো চিত্রের কয়েন সংখ্যা = পদসংখ্যা x (পদসংখ্যা + 1) 2

∴ $n$ তম চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $=\frac{n\left(n+1\right)}2$

∴ নির্ণেয় সূত্র $\frac{n\left(n+1\right)}2$

২নং প্রশ্নের উত্তর

$n$ সারির সংখ্যাগুলো সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি
1 1+1=2
2 1+2+1=4
3 1+3+3+1=8
4 1+4+6+4+1=16
5 1+5+10+10+5+1=32

এখানে,
১ম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=2=2^1$

২য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=4=2^2$

৩য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=8=2^3$

৪র্থ সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=16=2^4$

-           -           -           -
-           -           -           -

∴ $n$ তম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=2^n$

∴ $n$ তম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $2^n$ কে সমর্থন করে।
[ দেখানো হলো ]

(খ)
প্রত্যেক সারির সমষ্টিগুলোকে নিয়ে গঠিত ধারা 
$2+4+8+16+32+.......$

এখানে,
ধারাটির ১ম পদ $a=2$
সাধারণ অনুপাত, $r=\frac42=\frac84=\frac{16}8=2$

মনে করি,
ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি হবে $2046$

প্রশ্নমতে,
    $\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}=2046$

$=\frac{2\left(2^n-1\right)}{2-1}=2046$

$=2\left(2^n-1\right)=2046$

$=\left(2^n-1\right)=1023$

$=2^n=1023+1$

$=2^n=1024$

$=2^n=2^{10}$


∴ $10$টি সারির সমষ্টিগুলোর সমষ্টি $2046$ হবে।
[Answer]

৩ নং প্রশ্নের উত্তর

দেওয়া আছে, $n\in\mathbb{N}$

অর্থাৎ, $k=1,2,3,........n$

এবং, দেওয়া আছে,
$\textstyle\sum_{k=1}^nk^3=784$

বা, $1^3+2^3+3^3+4^3+................+n^3=784$

বা, $\left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2=\left(28\right)^2$

বা, $\frac{n\left(n+1\right)}2=28$

বা, $n\left(n+1\right)=56$

বা, $n^2+n=56$

বা, $n^2+n-56=0$

বা, $n^2+8n-7n-56=0$

বা, $n\left(n+8\right)-7\left(n+8\right)=0$

বা, $\left(n+8\right)\left(n-7\right)=0$


হয়,
$n+8=0$
$n=-8$

অথবা,
$n-8=0$
$n=8$

কিন্তু, $n\in\mathbb{N}$

সুতরাং $n=7$

আবার,
  $\textstyle\sum_{k=1}^nk^2$

$=1^2+2^2+3^2+4^2+................+n^2$

$=\frac{n\left(n+\right)\left(2n+1\right)}6$

$=\frac{7\left(7+1\right)\left(2\times7+1\right)}6$

$=\frac{7\left(7+1\right)\left(14+1\right)}6$

$=\frac{7\times8\times15}6$

$=\frac{840}6$

$=140$


সুতরাং, নির্ণেয় মান $140$
[ Answer ]


আরো দেখুন :
৩য় সপ্তাহের নমুনা সমাধান :
SSC : গণিত

No comments