সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩১

৩১ (i) একটি সমান্তর ধারার $15$ তম পদ $89$ এবং $21$ তম পদ $125$
(ii) অপর একটি গুণোত্তর ধারা $-\dfrac{1}{2}+x+y+z-2+ \cdots \cdots \cdots$

• (ক) $7+11+15+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $210$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকের সমান্তর ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপকের গুণোত্তর ধারাটির $x$, $y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $7+11+15+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 11 - 7 = 15 - 11 = 4$

আমাদের ধারাটির $210$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির $210$ তম পদ $= 7+(210-1)4$

$= 7 + 209 \times 4$

$= 7 + 836$

$= 843$

সুতরাং, ধারাটির $210$ তম পদ $843$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

উদ্দীপকের (i) নং শর্তানুসারে,

$15$ তম পদ $= 89$

বা, $a+(15-1)d = 89$

বা, $a+14d = 89$ -------- (i)

এবং $21$ তম পদ $= 125$

বা, $a+(21-1)d = 125$

বা, $a+20d = 125$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+20d) - (a+14d) = 125 - 89$

বা, $6d = 36$

বা, $d = \dfrac{36}{6}$

$\therefore d = 6$

এখন, $d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a + 14(6) = 89$

বা, $a + 84 = 89$

বা, $a = 89 - 84$

$\therefore a = 5$

আমাদের সমান্তর ধারাটির প্রথম $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $25$টি পদের সমষ্টি,

$S_{25} = \dfrac{25}{2} \{2(5)+(25-1)6\}$

$= \dfrac{25}{2} \{10+24 \times 6\}$

$= \dfrac{25}{2} \{10+144\}$

$= \dfrac{25}{2} \times 154$

$= 25 \times 77$

$= 1925$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির প্রথম $25$টি পদের সমষ্টি $1925$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের (ii) নং হতে পাই, গুণোত্তর ধারাটি হলো: $-\dfrac{1}{2}+x+y+z-2+ \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, $a = -\dfrac{1}{2}$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

ধারাটির ২য় পদ $= ar^{2-1} = ar = x$

ধারাটির ৩য় পদ $= ar^{3-1} = ar^2 = y$

ধারাটির ৪র্থ পদ $= ar^{4-1} = ar^3 = z$

এবং ধারাটির ৫ম পদ $= ar^{5-1} = ar^4 = -2$

প্রশ্নমতে,

$ar^4 = -2$

বা, $\left(-\dfrac{1}{2}\right) r^4 = -2$

বা, $r^4 = -2 \times (-2)$

বা, $r^4 = 4$

বা, $(r^2)^2 = 2^2$

বা, $r^2 = 2$

$\therefore r = \pm\sqrt2$

যখন $r = \sqrt2$:

$x = ar = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \sqrt2 = -\dfrac{\sqrt2}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt2}$

$y = ar^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (\sqrt2)^2 = -\dfrac{1}{2} \times 2 = -1$

$z = ar^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (\sqrt2)^3 = -\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt2 = -\sqrt2$

যখন $r = -\sqrt2$:

$x = ar = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (-\sqrt2) = \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$

$y = ar^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (-\sqrt2)^2 = -\dfrac{1}{2} \times 2 = -1$

$z = ar^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (-\sqrt2)^3 = -\dfrac{1}{2} \times (-2\sqrt2) = \sqrt2$

সুতরাং, $x, y, z$ এর মান যথাক্রমে $-\dfrac{1}{\sqrt2}, -1, -\sqrt2$ অথবা $\dfrac{1}{\sqrt2}, -1, \sqrt2$। Answer

Previous See All Next