সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২৭

২৭ (i) কোনো সমান্তর ধারার $25$ তম পদ $99$ এবং $31$ তম পদ $135$.
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt2}$ এবং নবম পদ $\dfrac{1}{8\sqrt2}$

• (ক) প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $40$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, $S_n = \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2$

এখানে, $n = 20$

$\therefore$ প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি,

$S_{20} = \left\{ \dfrac{20(20+1)}{2} \right\}^2$

$= \left( \dfrac{20 \times 21}{2} \right)^2$

$= (10 \times 21)^2$

$= (210)^2$

$= 44100$

সুতরাং, প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $44100$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

উদ্দীপক (i) অনুসারে,

$25$ তম পদ $= 99$

বা, $a+(25-1)d = 99$

বা, $a+24d = 99$ -------- (i)

এবং $31$ তম পদ $= 135$

বা, $a+(31-1)d = 135$

বা, $a+30d = 135$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+30d) - (a+24d) = 135 - 99$

বা, $6d = 36$

বা, $d = \dfrac{36}{6}$

$\therefore d = 6$

এখন, $d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a+24(6) = 99$

বা, $a+144 = 99$

বা, $a = 99 - 144$

$\therefore a = -45$

আবার আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $40$টি পদের সমষ্টি,

$S_{40} = \dfrac{40}{2} \{2(-45)+(40-1)6\}$

$= 20 \{-90 + 39 \times 6\}$

$= 20 \{-90 + 234\}$

$= 20 \times 144$

$= 2880$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির প্রথম $40$টি পদের সমষ্টি $2880$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপক (ii) অনুসারে,

৩য় পদ $= \dfrac{1}{\sqrt2}$

বা, $ar^{3-1} = \dfrac{1}{\sqrt2}$

বা, $ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt2}$ -------- (i)

এবং ৯ম পদ $= \dfrac{1}{8\sqrt2}$

বা, $ar^{9-1} = \dfrac{1}{8\sqrt2}$

বা, $ar^8 = \dfrac{1}{8\sqrt2}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^8}{ar^2} = \dfrac{\dfrac{1}{8\sqrt2}}{\dfrac{1}{\sqrt2}}$

বা, $r^6 = \dfrac{1}{8\sqrt2} \times \sqrt2$

বা, $r^6 = \dfrac{1}{8}$

বা, $r^6 = \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^6$

$\therefore r = \pm\dfrac{1}{\sqrt2}$

যখন $r = \dfrac{1}{\sqrt2}$:

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

$a \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \dfrac{1}{\sqrt2}$

বা, $a \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$

বা, $a = \dfrac{2}{\sqrt2}$

$\therefore a = \sqrt2$

এক্ষেত্রে ধারাটি হবে: $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \sqrt2 + \left(\sqrt2 \times \dfrac{1}{\sqrt2}\right) + \left\{\sqrt2 \times \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\right\} + \cdots \cdots$

$= \sqrt2 + 1 + \dfrac{1}{\sqrt2} + \cdots \cdots$

যখন $r = -\dfrac{1}{\sqrt2}$:

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

$a \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \dfrac{1}{\sqrt2}$

বা, $a \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$

$\therefore a = \sqrt2$

এক্ষেত্রে ধারাটি হবে: $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \sqrt2 + \left\{\sqrt2 \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\right\} + \left\{\sqrt2 \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\right\} + \cdots \cdots$

$= \sqrt2 - 1 + \dfrac{1}{\sqrt2} - \cdots \cdots$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: $\sqrt2 + 1 + \dfrac{1}{\sqrt2} + \cdots \cdots$ অথবা $\sqrt2 - 1 + \dfrac{1}{\sqrt2} - \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next