সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২৬

২৬ (i) $3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $t$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1533$
(ii) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $q^2$ এবং $q$ তম পদ $p^2$

• (ক) $7+10+13+16+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $160$ তা নির্ণয় কর।
• (খ) $t$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির $(p-1+q)$ তম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $7+10+13+16+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 13 - 10 = 10 - 7 = 3$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= 160$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 160$

বা, $7+(n-1)3 = 160$

বা, $(n-1)3 = 160 - 7$

বা, $(n-1)3 = 153$

বা, $n-1 = \dfrac{153}{3}$

বা, $n-1 = 51$

বা, $n = 51 + 1$

$\therefore n = 52$

সুতরাং, ধারাটির $52$ তম পদ $160$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, ধারাটি: $3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, রাজনৈতিক বা প্রথম পদ $a = 3$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{12}{6} = \dfrac{6}{3} = 2 > 1$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম $t$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1533$

$\therefore S_t = \dfrac{a(r^t - 1)}{r - 1} = 1533$

বা, $\dfrac{3(2^t - 1)}{2 - 1} = 1533$

বা, $\dfrac{3(2^t - 1)}{1} = 1533$

বা, $3(2^t - 1) = 1533$

বা, $2^t - 1 = \dfrac{1533}{3}$

বা, $2^t - 1 = 511$

বা, $2^t = 511 + 1$

বা, $2^t = 512$

বা, $2^t = 2^9$

$\therefore t = 9$

সুতরাং, $t$ এর মান $9$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

উদ্দীপক (ii) অনুসারে,

$p$ তম পদ $= q^2$

বা, $a+(p-1)d = q^2$ -------- (i)

এবং $q$ তম পদ $= p^2$

বা, $a+(q-1)d = p^2$ -------- (ii)

সমীকরণ (i) থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$\{a+(p-1)d\} - \{a+(q-1)d\} = q^2 - p^2$

বা, $a+pd-d-a-qd+d = q^2 - p^2$

বা, $pd - qd = q^2 - p^2$

বা, $d(p-q) = (q-p)(q+p)$

বা, $d(p-q) = -(p-q)(p+q)$

উভয়পক্ষকে $(p-q)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\therefore d = -(p+q)$

এখন, সমান্তর ধারাটির $(p-1+q)$ তম পদ বা $(p+q-1)$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে:

$(p+q-1)$ তম পদ $= a+(p+q-1-1)d$

$= a+(p-1+q-1)d$

$= a+(p-1)d + (q-1)d$

$= q^2 + (q-1)d$    [(i) নং সমীকরণ হতে $a+(p-1)d = q^2$ বসিয়ে]

$= q^2 + (q-1)\{-(p+q)\}$    [$d = -(p+q)$ বসিয়ে]

$= q^2 - (q-1)(p+q)$

$= q^2 - (pq + q^2 - p - q)$

$= q^2 - pq - q^2 + p + q$

$= -pq + p + q$

$= p + q - pq$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির $(p-1+q)$ তম পদ $p + q - pq$। Answer

Previous See All Next