সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫৩

৫৩ (i) $6+m+n+p+\dfrac{3}{8}$ একটি গুণোত্তর ধারা।
(ii) কোনো সমান্তর ধারার প্রথম $p$ পদের সমষ্টি $q$ এবং প্রথম $q$ পদের সমষ্টি $p$

• (ক) $2$, $x$ এবং $32$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর, (যেখানে $x > 0$)
• (খ) (i)নং হতে $m$, $n$ ও $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii)নং হতে প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$2$, $x$ এবং $32$ ক্রমিক সমানুপাতী।

আমরা জানি, তিনটি রাশি $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$ বা $b^2 = ac$ হয়।

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{x}{32}$

বা, $x^2 = 2 \times 32$

বা, $x^2 = 64$

বা, $x = \pm \sqrt{64}$

$\therefore x = \pm 8$

যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে $x > 0$, তাই $x = -8$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $x = 8$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, গুণোত্তর ধারাটি: $6+m+n+p+\dfrac{3}{8}$

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 6$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$

ধারাটিতে ৫ম পদ $= \dfrac{3}{8}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{5-1} = \dfrac{3}{8}$

বা, $ar^4 = \dfrac{3}{8}$

বা, $6r^4 = \dfrac{3}{8}$    [$a = 6$ বসিয়ে]

বা, $r^4 = \dfrac{3}{8 \times 6}$

বা, $r^4 = \dfrac{1}{16}$

বা, $r^4 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4$

$\therefore r = \dfrac{1}{2}$

এখন $m, n, p$ এর মান নির্ণয় করি:

$m$ হলো ধারাটির ২য় পদ $\implies m = ar^{2-1} = ar = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3$

$n$ হলো ধারাটির ৩য় পদ $\implies n = ar^{3-1} = ar^2 = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 6 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}$

$p$ হলো ধারাটির ৪র্থ পদ $\implies p = ar^{4-1} = ar^3 = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 6 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4}$

সুতরাং, $m = 3$, $n = \dfrac{3}{2}$ এবং $p = \dfrac{3}{4}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

প্রথম $p$ পদের সমষ্টি, $S_p = q$

বা, $\dfrac{p}{2} \{2a+(p-1)d\} = q$

বা, $p \{2a+(p-1)d\} = 2q$

বা, $2ap + p(p-1)d = 2q$ ........ (i)

এবং প্রথম $q$ পদের সমষ্টি, $S_q = p$

বা, $\dfrac{q}{2} \{2a+(q-1)d\} = p$

বা, $q \{2a+(q-1)d\} = 2p$

বা, $2aq + q(q-1)d = 2p$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(2ap - 2aq) + \{p(p-1)d - q(q-1)d\} = 2q - 2p$

বা, $2a(p - q) + (p^2 - p - q^2 + q)d = 2(q - p)$

বা, $2a(p - q) + \{(p^2 - q^2) - (p - q)\}d = -2(p - q)$

বা, $2a(p - q) + \{(p + q)(p - q) - (p - q)\}d = -2(p - q)$

বা, $2a(p - q) + (p - q)(p + q - 1)d = -2(p - q)$

উভয়পক্ষকে $(p - q)$ দ্বারা ভাগ করে পাই, (যেহেতু $p \neq q$)

$2a + (p + q - 1)d = -2$ ........ (iii)

এখন, ধারাটির প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি,

$S_{p+q} = \dfrac{p+q}{2} \{2a + (p+q-1)d\}$

সমীকরণ (iii) হতে $\{2a + (p+q-1)d\}$ এর মান বসিয়ে পাই,

$S_{p+q} = \dfrac{p+q}{2} \times (-2)$

$= -(p+q)$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি $-(p+q)$। Answer

Previous See All Next