সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪০

৪০ তরী তার উপবৃত্তির টাকা হতে ২০১৭ সালের জানুয়ারি মাসে $1$ টাকা, ফেব্রুয়ারি মাসে $8$ টাকা, মার্চ মাসে $27$ টাকা এভাবে সোনালী ব্যাংকে টাকা জমা রাখতে থাকে।

• (ক) প্রথম পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ সাধারণ অনুপাত $-\sqrt3$ এবং শেষ পদ $27\sqrt3$ হলে, ধারাটির পদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
• (খ) ২০১৭ সালের ডিসেম্বর মাসে সে কত টাকা জমা দিবে এবং ঐ সময় পর্যন্ত তার ব্যাংকে কত টাকা জমা হবে?
• (গ) কত বছরে তার ব্যাংকে $90,000$ টাকা জমা হবে?

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt3}$

সাধারণ অনুপাত, $r = -\sqrt3$

শেষ পদ বা $n$ তম পদ $= 27\sqrt3$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{n-1} = 27\sqrt3$

বা, $\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right) (-\sqrt3)^{n-1} = 27\sqrt3$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = 27\sqrt3 \times \sqrt3$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = 27 \times 3$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = 81$

এখন, $81 = 3^4 = \left\{(\sqrt3)^2\right\}^4 = (\sqrt3)^8$

যেহেতু ঘাত $8$ জোড় সংখ্যা, তাই আমরা লিখতে পারি $(-\sqrt3)^8 = 81$

অতএব,

$(-\sqrt3)^{n-1} = (-\sqrt3)^8$

বা, $n - 1 = 8$

বা, $n = 8 + 1$

$\therefore n = 9$

সুতরাং, ধারাটির পদ সংখ্যা $9$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, তরীর জমানো টাকার পরিমাণ:

১ম মাসে (জানুয়ারি) জমা দেয় $= 1$ টাকা $= 1^3$ টাকা

২য় মাসে (ফেব্রুয়ারি) জমা দেয় $= 8$ টাকা $= 2^3$ টাকা

৩য় মাসে (মার্চ) জমা দেয় $= 27$ টাকা $= 3^3$ টাকা

এভাবে চলতে থাকলে, $n$ তম মাসে জমা দিবে $= n^3$ টাকা।

যেহেতু ডিসেম্বর হলো বছরের ১২তম মাস, অর্থাৎ $n = 12$.

$\therefore$ ডিসেম্বর মাসে সে জমা দিবে $= 12^3$ টাকা

$= 12 \times 12 \times 12 = 1728$ টাকা।

ঐ সময় পর্যন্ত তার ব্যাংকে মোট জমানো টাকার পরিমাণ হবে প্রথম ১২ মাসের জমানো টাকার সমষ্টি।

অর্থাৎ, মোট টাকা $= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + 12^3$

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2$

$\therefore$ ১২ মাসের মোট জমা $= \left\{ \dfrac{12(12+1)}{2} \right\}^2$

$= \left( \dfrac{12 \times 13}{2} \right)^2$

$= (6 \times 13)^2$

$= (78)^2$

$= 6084$

সুতরাং, ডিসেম্বর মাসে সে $1728$ টাকা জমা দিবে এবং ঐ সময় পর্যন্ত তার ব্যাংকে মোট $6084$ টাকা জমা হবে। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(খ) হতে প্রাপ্ত, $n$ তম মাস পর্যন্ত মোট জমানো টাকার পরিমাণ $= \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2$

প্রশ্নমতে, ব্যাংকে মোট জমানো টাকার পরিমাণ $= 90,000$

$\therefore \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2 = 90000$

বা, $\dfrac{n(n+1)}{2} = \sqrt{90000}$

বা, $\dfrac{n(n+1)}{2} = 300$    [যেহেতু মাস সংখ্যা $n$ ঋণাত্মক হতে পারে না]

বা, $n(n+1) = 300 \times 2$

বা, $n^2 + n = 600$

বা, $n^2 + n - 600 = 0$

বা, $n^2 + 25n - 24n - 600 = 0$

বা, $n(n + 25) - 24(n + 25) = 0$

বা, $(n + 25)(n - 24) = 0$

হয়, $n + 25 = 0$

$\therefore n = -25$

অথবা, $n - 24 = 0$

$\therefore n = 24$

যেহেতু মাস সংখ্যা $n$ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -25$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n = 24$ মাস।

আমাদের সময় বছরে প্রকাশ করতে হবে।

আমরা জানি, ১২ মাস $= 1$ বছর

$\therefore 24$ মাস $= \dfrac{24}{12}$ বছর $= 2$ বছর।

সুতরাং, $2$ বছরে তার ব্যাংকে $90,000$ টাকা জমা হবে। Answer

Previous See All Next