সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৯

৩৯ দৃশ্যকল্প-১: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $4$ এবং সাধারণ অনুপাত $3$.
দৃশ্যকল্প-২: $1^2+3^2+5^2+ \cdots +17^2$ একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির ধারা।

• (ক) $3+9+27+ \cdots$ ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $3+9+27+ \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 3$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{9}{3} = 3$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

$\therefore$ ধারাটির অষ্টম ($8$ তম) পদ $= 3 \times (3)^{8-1}$

$= 3 \times 3^7$

$= 3^8$

$= 6561$

সুতরাং, ধারাটির অষ্টম পদ $6561$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, $a = 4$

সাধারণ অনুপাত, $r = 3$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সাধারণ রূপ: $a + ar + ar^2 + \cdots$

অতএব, নির্ণেয় ধারাটি হলো: $4 + (4 \times 3) + (4 \times 3^2) + \cdots$

$= 4 + 12 + 36 + \cdots$

এখন, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে।

এখানে সাধারণ অনুপাত, $r = 3 > 1$, তাই সমষ্টির সূত্র হবে: $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{4(3^{10} - 1)}{3 - 1}$

$= \dfrac{4(59049 - 1)}{2}$

$= \dfrac{4 \times 59048}{2}$

$= 2 \times 59048$

$= 118096$

সুতরাং, ধারাটি $4 + 12 + 36 + \cdots$ এবং প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $118096$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটি হলো: $1^2+3^2+5^2+ \cdots +17^2$

এটি প্রথম থেকে শুরু হওয়া বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির ধারা।

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= (2n - 1)^2$

প্রশ্নমতে, শেষ পদটি হলো $17^2$

$\therefore 2n - 1 = 17$

বা, $2n = 17 + 1$

বা, $2n = 18$

বা, $n = 9$

অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট ৯টি পদ রয়েছে।

এখন, ধারাটির $n$ তম পদকে বিস্তৃত করে পাই,

$(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$

সুতরাং, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি ($S_n$):

$S_n = \sum (4n^2 - 4n + 1)$

$= 4\sum n^2 - 4\sum n + \sum 1$

$= 4\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n$

যেহেতু $n = 9$, তাই মান বসিয়ে পাই,

$S_9 = 4 \left[ \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{9(9+1)}{2} \right] + 9$

$= 4 \left[ \frac{9 \times 10 \times 19}{6} \right] - 4 \left[ \frac{9 \times 10}{2} \right] + 9$

$= 4 \times 285 - 4 \times 45 + 9$

$= 1140 - 180 + 9$

$= 969$

বিকল্প পদ্ধতি: সরাসরি পদগুলো যোগ করে,

$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+13^2+15^2+17^2$

$= 1 + 9 + 25 + 49 + 81 + 121 + 169 + 225 + 289$

$= 969$

সুতরাং, দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির সমষ্টি $969$। Answer

Previous See All Next