সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৮

৩৮ (i) $6+x+y+z+96+ \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা, $x,y,z > 0$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ $8 \sqrt2 \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^a$

• (ক) (ii) এর ধারাটির ১ম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) (i) এর ধারাটি হতে $x$, $y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) এর ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $-\dfrac{16\sqrt2 +1}{2\left(\sqrt2 +1\right)}$ হয়, তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের (ii) নং হতে পাই,

গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ ($a$ তম পদ) $= 8 \sqrt2 \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^a$

ধারাটির ১ম পদ নির্ণয় করার জন্য, $a = 1$ বসিয়ে পাই,

১ম পদ $= 8 \sqrt2 \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^1$

$= 8 \sqrt2 \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$

$= -8$

সুতরাং, ধারাটির ১ম পদ $-8$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি: $6+x+y+z+96+ \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 6$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

ধারাটির ২য় পদ, $x = ar^{2-1} = ar$

ধারাটির ৩য় পদ, $y = ar^{3-1} = ar^2$

ধারাটির ৪র্থ পদ, $z = ar^{4-1} = ar^3$

এবং ধারাটির ৫ম পদ $= ar^{5-1} = ar^4$

প্রশ্নমতে,

$ar^4 = 96$

বা, $6r^4 = 96$    [$a = 6$ বসিয়ে]

বা, $r^4 = \dfrac{96}{6}$

বা, $r^4 = 16$

বা, $r^4 = (\pm 2)^4$

$\therefore r = \pm 2$

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে $x, y, z > 0$, তাই $r$ এর মান ঋণাত্মক হতে পারবে না। (কারণ $r = -2$ হলে $x = 6 \times (-2) = -12$ হবে, যা শর্তবিরোধী)।

$\therefore r = 2$

এখন $x, y$ এবং $z$ এর মান নির্ণয় করি:

$x = ar = 6 \times 2 = 12$

$y = ar^2 = 6 \times 2^2 = 6 \times 4 = 24$

$z = ar^3 = 6 \times 2^3 = 6 \times 8 = 48$

সুতরাং, $x = 12$, $y = 24$ এবং $z = 48$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(ক) হতে পাই, (ii) এর গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, $A = -8$

ধারাটির ২য় পদ ($a=2$ বসিয়ে),

$= 8 \sqrt2 \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = 8\sqrt2 \times \dfrac{1}{2} = 4\sqrt2$

$\therefore$ সাধারণ অনুপাত, $R = $ ^{২য় পদ}⁄_{১ম পদ} $= \dfrac{4\sqrt2}{-8} = -\dfrac{\sqrt2}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt2}$

এখানে $R = -\dfrac{1}{\sqrt2} < 1$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{A(1 - R^n)}{1 - R}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{A(1 - R^n)}{1 - R} = -\dfrac{16\sqrt2 +1}{2\left(\sqrt2 +1\right)}$

বা, $\dfrac{-8 \left\{ 1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n \right\}}{1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)} = -\dfrac{16\sqrt2 +1}{2\left(\sqrt2 +1\right)}$

বা, $\dfrac{-8 \left\{ 1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n \right\}}{1 + \dfrac{1}{\sqrt2}} = -\dfrac{16\sqrt2 +1}{2\left(\sqrt2 +1\right)}$

বা, $\dfrac{-8 \left\{ 1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n \right\}}{\dfrac{\sqrt2 + 1}{\sqrt2}} = -\dfrac{16\sqrt2 +1}{2(\sqrt2 +1)}$

বা, $\dfrac{-8\sqrt2 \left\{ 1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n \right\}}{\sqrt2 + 1} = -\dfrac{16\sqrt2 +1}{2(\sqrt2 +1)}$

উভয়পক্ষকে $-\dfrac{\sqrt2 + 1}{8\sqrt2}$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\frac{- \bcancel{8\sqrt2} \left\{ 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)^n \right\}}{\cancel{\sqrt2 + 1}} \times \left( -\frac{\cancel{\sqrt2 + 1}}{\bcancel{8\sqrt2}} \right)=$$ -\frac{16\sqrt2 +1}{2\cancel{(\sqrt2 +1)}} \times \left( -\frac{\cancel{\sqrt2 + 1}}{8\sqrt2} \right)$

বা, $1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = \dfrac{16\sqrt2 + 1}{2 \times 8\sqrt2}$

বা, $1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = \dfrac{16\sqrt2 + 1}{16\sqrt2}$

বা, $1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = \dfrac{16\sqrt2}{16\sqrt2} + \dfrac{1}{16\sqrt2}$

বা, $1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = 1 + \dfrac{1}{16\sqrt2}$

বা, $-\left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = \dfrac{1}{16\sqrt2}$

বা, $\left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = -\dfrac{1}{16\sqrt2}$

এখন ডানপক্ষকে সূচক আকারে প্রকাশ করি:

যেহেতু $16\sqrt2 = 2^4 \times \sqrt2 = (\sqrt2)^8 \times \sqrt2 = (\sqrt2)^9$

সুতরাং, $\left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = -\dfrac{1}{(\sqrt2)^9}$

বা, $\left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^n = \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^9$

$\therefore n = 9$

সুতরাং, নির্ণেয় $n$ এর মান $9$। Answer

Previous See All Next