দূরত্ব ও উচ্চতার সমাধান (১০)
১ একটি দণ্ডের দৈর্ঘ্যের বর্গ তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের বর্গের এক তৃতীয়াংশ হলে ছায়ার প্রান্ত বিন্দুতে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
(ক) $15^\circ$
(খ) $30^\circ$
(গ) $45^\circ$
(ঘ) $60^\circ$
ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য, $AB=h$ এবং দণ্ডটির ছায়ার দৈর্ঘ্য, $BC=x$
প্রশ্নমতে,
$h^2=\frac{x^2}{3}$
বা, $h=\sqrt{\frac{x^2}{3}}$
বা, $h=\frac{x}{\sqrt3}$
$\therefore x=\sqrt3h$
$\triangle ABC$-এ, $tan \angle ACB=\frac{AB}{BC}$
বা, $tan \theta = \frac{h}{x}$
বা, $tan \theta = \frac{h}{\sqrt3h}$
বা, $tan \theta = \frac{1}{\sqrt3}$
বা, $tan \theta = tan 30^\circ$
$\therefore \theta = 30^\circ$
২ পাশের চিত্রে $x$ এর মান নিচের কোনটি?
(ক) $\frac{\sqrt3}{60}$
(খ) $\frac{60}{\sqrt3}$
(গ) $60\sqrt2$
(ঘ) $60\sqrt3$
$\triangle BCD$-এ
$tan60^\circ=\frac{BD}{BC}$
বা, $\sqrt3=\frac{60}{x}$
$\therefore x=\frac{60}{\sqrt3}$
৩ পাশের চিত্রে $O$ বিন্দুতে $P$ বিন্দুর উন্নতি কোণ কোনটি?
(ক) $\angle QOB$
(খ) $\angle POA$
(গ) $\angle QOA$
(ঘ) $\angle POB$
আমরা জানি, ভূতলের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।
চিত্রানুসারে, $AB$ সরলরেখার উপরের $P$ বিন্দুটি $AB$ রেখার সাথে $\angle POA$ কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং $O$ বিন্দুতে $P$ বিন্দুর উন্নতি কোণ $\angle POA$
৪ অবনতি কোণের মান কত ডিগ্রি হলে একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?
(ক) $30^\circ$
(খ) $45^\circ$
(গ) $60^\circ$
(ঘ) $90^\circ$
$ABC$ সমকোণী ত্রিভূজের লম্ব, $AB$ এবং ভূমি $BC$ হলে-
- $BC > AB$ হবে যদি $0^\circ < \theta < 45^\circ$ হয়।
- $BC < AB$ হবে যদি $45^\circ < \theta < 90^\circ$ হয়।
- $BC = AB$ হবে যদি $\theta = 45^\circ$ হয়।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, অবনতি কোণের মান $45^\circ$ হলে একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য ও এর ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে।
পাশের চিত্র অনুযায়ী ৫ নং - ৬ নং প্রশ্ন দুইটির উত্তর দাও।
৫ $BC$ এর দৈর্ঘ্য হবে?
(ক) $\frac{4}{\sqrt3}$ মিটার
(খ) $4$ মিটার
(গ) $4\sqrt2$ মিটার
(ঘ) $4\sqrt3$ মিটার
$\triangle ABC$-এ
$cos60^\circ=\frac{BC}{AC}$
বা, $BC=AC \times cos60^\circ$
বা, $BC=8 \times \frac12$
$\therefore BC=4$
৬ $AB$ এর দৈর্ঘ্য হবে?
(ক) $\frac{4}{\sqrt3}$ মিটার
(খ) $4$ মিটার
(গ) $4\sqrt2$ মিটার
(ঘ) $4\sqrt3$ মিটার
$\triangle ABC$-এ
$sin 60^\circ=\frac{AB}{AC}$
বা, $AB=AC \times sin60^\circ$
বা, $AB=8 \times \frac{\sqrt3}{2}$
$\therefore AB=4\sqrt3$ মিটার
৭ উন্নতি কোণ -
($i$) $30^\circ$ হলে, ভূমি $>$ লম্ব হবে।
($ii$) $45^\circ$ হলে, ভূমি $=$ লম্ব হবে।
($iii$) $60^\circ$ হলে, লম্ব $<$ ভূমি হবে।
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i$ ও $ii$
(খ) $ii$ ও $iii$
(গ) $i$ ও $iii$
(ঘ) $i$, $ii$ ও $iii$
($iii$) নং সঠিক নয়।
কারণ,
$tan60^\circ=$লম্বভূমি
বা, $\sqrt3=$লম্বভূমি
বা, লম্ব$= \sqrt3 \times$ ভূমি
$\therefore$ লম্ব $<$ ভূমি।
৮ পাশের চিত্রে -
($i$) $\angle DAC$ অবনতি কোণ
($ii$) $\angle ACB$ অবনতি কোণ
($iii$) $\angle DAC=\angle ACB$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i$ ও $ii$
(খ) $ii$ ও $iii$
(গ) $i$ ও $iii$
(ঘ) $i$, $ii$ ও $iii$
আমরা জানি, ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।
প্রদত্ত সজ্ঞানুসারে, $\angle DAC$ অবনতি কোণ।
আবার $\angle ACB$ ভূতলের সাথে উপরের দিকে কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং $\angle ACB$ উন্নতি কোণ।
চিত্রানুসারে, $AB \parallel BC$ এবং $AC$ তাদের ছেদক।
$\therefore \angle DAC = \angle ACB$
- (ক) উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।
- (খ) নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।
- (গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় কর।
- (ক) উদ্দীপক অনুসারে সংক্ষিপ্ত বর্ণণাসহ চিত্র অঙ্কন কর।
- (খ) দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
- (গ) দেওয়ালের সাথে ঠেস দিয়ে রাখা অবস্থায় মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আর কতদূর সরালে মইটি ভূমির সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করবে?
- (ক) $\angle CAD$ এর ডিগ্রি পরিমাপ নির্ণয় কর।
- (খ) $BC$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
- (গ) $\triangle ACD$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।