প্রথম অ্যাসাইনমেন্ট
উচ্চতর গণিত (১ম পত্র)
২য় সপ্তাহ
| শাখা | শ্রমিক সংখ্যা | ||
|---|---|---|---|
| শ্রেণি-১ | শ্রেণি-২ | শ্রেণি-৩ | |
| উৎপাদন | 4 | 8 | 4 |
| বিপণন | 0 | 4 | 4 |
| বিতরণ | 8 | 0 | 8 |
ছকের সংখ্যাগুলি একটি $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্স $A$ নির্দেশ করে। উৎপাদন, বিপণন ও
বিতরণ যে শাখাতেই কর্মরত থাকুক না কেন একই শ্রেণিভুক্ত শ্রমিকের মাসিক বেতন একই।
ক) $A$ ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম কিনা যাচাই কর।
খ) $A^2-7A+6I_3=2X$ হলে $X$ নির্ণয় কর।
গ) $B=\begin{bmatrix}10&-20&5\\10&0&-5\\-10&20&5\end{bmatrix}$ হলে, দেখাও যে, $AB=BA=80I_3$ হয়।
ঘ) এমন একটি ম্যাট্রিক্স $C$ নির্ণয় কর যেন $AC=CA=I_3$ হয়।
ঙ) উৎপাদন, বিপণন ও বিতরণ শাখার শ্রমিকদের মাসিক মোট বেতন যথাক্রমে $1,96,000$ টাকা, $88,000$ টাকা ও $2,00,000$ টাকা হলে শ্রেণি-১, শ্রেণি-২ এবং শ্রেণি-৩ ভুক্ত একজন শ্রমিকের মাসিক বেতন কত তা নির্ণায়কের সাহায্যে নির্ণয় কর।
নমুনা সমাধান
(ক) প্রদত্ত ছকের সংখ্যাগুলো একটি $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্স নির্দেশ করলে,
$A=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$
$\therefore A^T=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}4&0&8\\8&4&0\\4&4&8\end{bmatrix}$
যেহেতু, $A\neq A^T$
তাই, $A$ প্রতিসম ম্যাট্রিক্স নয় বা প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
(খ)
এখানে,
$A=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$ এবং $I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
$\therefore A^2=A\times A=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}16+0+32&32+32+0&16+32+32\\0+0+32&0+16+0&0+16+32\\32+0+64&64+0+0&32+0+64\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}48&64&80\\32&16&48\\96&64&96\end{bmatrix}$
সুতরাং,
$A^2-7A+6I_3$
$=\begin{bmatrix}48&64&80\\32&16&48\\96&64&96\end{bmatrix}-7\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}+6\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}48&64&80\\32&16&48\\96&64&96\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}28&56&28\\0&28&28\\56&0&56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}48-28+6&64-56+0&80-28+0\\32-0+0&16-28+6&48-28+0\\96-56+0&64-0+0&96+56+0\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}26&8&52\\32&-6&20\\40&64&46\end{bmatrix}$
প্রশ্নমতে,
$A^2-7A+6I_3=2X$
বা, $2X=\begin{bmatrix}26&8&52\\32&-6&20\\40&64&46\end{bmatrix}$
বা, $X=\frac12\begin{bmatrix}26&8&52\\32&-6&20\\40&64&46\end{bmatrix}$
$\therefore X=\begin{bmatrix}13&4&26\\16&-3&10\\20&32&23\end{bmatrix}$
(গ)
এখানে,
$A=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}10&-20&5\\10&0&-5\\-10&20&5\end{bmatrix}$ এবং, $I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
$\therefore AB=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&4\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}10&-20&5\\10&0&-5\\-10&20&5\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}40+80+40&-80+0+80&20-40+20\\0+40-40&0+0+80&0-20+20\\80+0-80&-160+0+160&40+0+40\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}80&0&0\\0&8&0\\0&0&80\end{bmatrix}$
এবং $80I_3=80\times\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}80&0&0\\0&8&0\\0&0&80\end{bmatrix}$
অতএব, $AB=BA=80I_3$ [Proved]
এখানে, $A=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$ এবং, $I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
এমন একটি ম্যাট্রিক্স $C$ নির্ণয় করতে হবে যেন,
$AC=CA=I_3$ হয়।
যেহেতু, $AC=CA=I_3$
$\therefore C=A^{-1}$ এবং $\therefore A=C^{-1}$
$\therefore det\left(A\right)=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$
$=4\left(32-0\right)+8\left(32-0\right)+4\left(0-32\right)$
$=128+256-128$
$=256\neq0$
$\therefore A^{-1}$ নির্ণয় যোগ্য।
GLb,
$A_{11}=\left(-1\right)^{1+1}\begin{vmatrix}4&4\\0&8\end{vmatrix}=1\left(4\times8-0\times4\right)=32$
$A_{12}=\left(-1\right)^{1+2}\begin{vmatrix}0&4\\8&8\end{vmatrix}=-1\left(0\times8-4\times8\right)=32$
$A_{13}=\left(-1\right)^{1+3}\begin{vmatrix}0&4\\8&0\end{vmatrix}=1\left(0\times0-4\times8\right)=-32$
$A_{21}=\left(-1\right)^{2+1}\begin{vmatrix}8&4\\0&8\end{vmatrix}=-1\left(8\times8-4\times0\right)=-64$
$A_{22}=\left(-1\right)^{2+2}\begin{vmatrix}4&4\\8&8\end{vmatrix}=1\left(4\times8-4\times8\right)=0$
$A_{23}=\left(-1\right)^{2+3}\begin{vmatrix}4&8\\8&0\end{vmatrix}=-1\left(4\times0-8\times8\right)=64$
$A_{31}=\left(-1\right)^{3+1}\begin{vmatrix}8&4\\4&4\end{vmatrix}=1\left(8\times4-4\times4\right)=16$
$A_{32}=\left(-1\right)^{3+2}\begin{vmatrix}4&4\\0&8\end{vmatrix}=-1\left(4\times4-4\times0\right)=-16$
$A_{33}=\left(-1\right)^{3+3}\begin{vmatrix}4&8\\0&4\end{vmatrix}=1\left(4\times4-8\times0\right)=16$
$\therefore A^{-1}=\frac1{detA}adj\left(A\right)$
$=\frac1{detA}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}$
$=\frac1{256}\begin{bmatrix}32&-64&16\\32&0&-16\\-32&64&16\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}\frac18&-\frac14&\frac1{16}\\\frac18&0&-\frac1{16}\\\frac18&\frac14&\frac1{16}\end{bmatrix}$
$\therefore C=A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac18&-\frac14&\frac1{16}\\\frac18&0&-\frac1{16}\\\frac18&\frac14&\frac1{16}\end{bmatrix}$
(ঙ)
এখানে, $A=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$
ধরি, শ্রেণি-১, শ্রেণি-২ ও শ্রেণি-৩ ভুক্ত একত্রে শ্রমিকের বেতন যথাক্রমে $X$, $Y$ ও $Z$ ধরে।
ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে পাই, $X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$
এবং শ্রমিকদের মোট বেতন ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে পাই, $B=\begin{bmatrix}196000\\88000\\200000\end{bmatrix}$
শর্তানুসারে,
$AX=B$
বা, $\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}196000\\88000\\200000\end{bmatrix}$
$\therefore\begin{bmatrix}4x+8y+4z\\4y+4z\\8x+8z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}196000\\88000\\200000\end{bmatrix}$
ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে
$4x+8y+4z=196000$
$4y+4z=88000$
$8x+8z=200000$
এখন, $x$, $y$ ও $z$ এর সহগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক $D$ হলে,
$D=\begin{bmatrix}4&8&4\\0&4&4\\8&0&8\end{bmatrix}$
$=4\left(32-0\right)+8\left(32-0\right)+4\left(0-32\right)$
$=128+256-128$
$=256$
সুতরাং,
$Dx=\begin{bmatrix}196000&8&4\\88000&4&4\\200000&0&8\end{bmatrix}$
$=196000\left(32-0\right)-8\left(704000-800000\right)+4\left(0-800000\right)$
$=3840000$
$Dy=\begin{bmatrix}4&196000&4\\0&88000&4\\8&200000&8\end{bmatrix}$
$=4\left(704000-800000\right)-196000\left(0-32\right)+4\left(0-704000\right)$
$=3072000$
$Dz=\begin{bmatrix}4&8&196000\\0&4&88000\\8&0&200000\end{bmatrix}$
$=4\left(800000-0\right)-8\left(0-704000\right)+196000\left(0-32\right)$
$=2560000$
$\therefore X=\frac{Dx}D=\frac{3840000}{256}=15000$
$\therefore Y=\frac{Dy}D=\frac{3072000}{256}=12000$
$\therefore Z=\frac{Dz}D=\frac{2560000}{256}=10000$
∴ শ্রেণি-১ ভুক্ত একজন শ্রমিকের বেতন $15,000$ টাকা
∴ শ্রেণি-২ ভুক্ত একজন শ্রমিকের বেতন $12,000$ টাকা
∴ শ্রেণি-3 ভুক্ত একজন শ্রমিকের বেতন $10,000$ টাকা