সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪১

৪১ দৃশ্যকল্প-১: একটি $2046$ মিটার লম্বা ফিতা কেটে এমনভাবে টুকরা করা হল যেন প্রথম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $2$ মিটার এবং পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ।
দৃশ্যকল্প-২: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $4$ এবং সাধারণ অনুপাত $3$।

• (ক) পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ না হয়ে তার পূর্ববর্তী টুকরার চেয়ে $2$ মিটার বেশি হলে, $19$তম টুকরার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
• (গ) যদি প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হত তাহলে কয়টি টুকরা করা যেত?

(ক) নং এর সমাধান

প্রশ্নমতে, প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য $= 2$ মিটার।

পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য পূর্ববর্তী টুকরার চেয়ে $2$ মিটার বেশি হলে, এটি একটি সমান্তর ধারা গঠন করে।

এখানে,

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, $a = 2$

সাধারণ অন্তর, $d = 2$

আমাদের $19$ তম টুকরার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ১৯তম টুকরার দৈর্ঘ্য $= a+(19-1)d$

$= 2 + 18(2)$

$= 2 + 36$

$= 38$ মিটার।

সুতরাং, $19$তম টুকরার দৈর্ঘ্য $38$ মিটার। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, $a = 4$

সাধারণ অনুপাত, $r = 3$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সাধারণ রূপ: $a + ar + ar^2 + \cdots$

অতএব, নির্ণেয় ধারাটি হলো: $4 + (4 \times 3) + (4 \times 3^2) + \cdots$

$= 4 + 12 + 36 + \cdots$

এখন, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে।

এখানে সাধারণ অনুপাত, $r = 3 > 1$, তাই সমষ্টির সূত্র হবে: $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{4(3^{10} - 1)}{3 - 1}$

$= \dfrac{4(59049 - 1)}{2}$

$= \dfrac{4 \times 59048}{2}$

$= 2 \times 59048$

$= 118096$

সুতরাং, ধারাটি $4 + 12 + 36 + \cdots$ এবং প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $118096$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য $= 2$ মিটার।

পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ, অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত $= 2$।

এটি একটি গুণোত্তর ধারা গঠন করে।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 2$

সাধারণ অনুপাত, $r = 2 > 1$

ধরি, ফিতাটিকে মোট $n$ টি টুকরা করা হয়েছিল।

তাহলে, সকল টুকরার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি হবে ফিতাটির মোট দৈর্ঘ্যের সমান।

অর্থাৎ, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = 2046$

যেহেতু $r > 1$, তাই সমষ্টির সূত্র: $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2046$

বা, $\dfrac{2(2^n - 1)}{1} = 2046$

বা, $2(2^n - 1) = 2046$

বা, $2^n - 1 = \dfrac{2046}{2}$

বা, $2^n - 1 = 1023$

বা, $2^n = 1023 + 1$

বা, $2^n = 1024$

বা, $2^n = 2^{10}$

$\therefore n = 10$

সুতরাং, ফিতাটিকে মোট $10$ টি টুকরা করা যেত। Answer

Previous See All Next