সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪২

৪২ (i) $\dfrac{1}{\sqrt2}-1+\sqrt2 - \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা।
(ii) $3bx^2-4ax+3b=0$

• (ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $3:7$ এবং ল.সা.গু. $168$ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $x=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$
• (গ) ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে $3x$ এবং $7x$।

এখানে, $3x$ এবং $7x$ এর ল.সা.গু. $= 21x$

প্রশ্নমতে,

$21x = 168$

বা, $x = \dfrac{168}{21}$

$\therefore x = 8$

সুতরাং, প্রথম সংখ্যাটি $= 3 \times 8 = 24$

এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি $= 7 \times 8 = 56$

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি $24$ এবং $56$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$3bx^2-4ax+3b=0$

বা, $3bx^2 + 3b = 4ax$

বা, $3b(x^2 + 1) = 4ax$

বা, $\dfrac{x^2+1}{x} = \dfrac{4a}{3b}$

বা, $\dfrac{x^2+1}{2x} = \dfrac{2a}{3b}$    [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{x^2+1+2x}{x^2+1-2x} = \dfrac{2a+3b}{2a-3b}$

বা, $\dfrac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \dfrac{2a+3b}{2a-3b}$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

$\dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{\sqrt{2a+3b}}{\sqrt{2a-3b}}$

পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{(x+1)+(x-1)}{(x+1)-(x-1)} = \dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

বা, $\dfrac{x+1+x-1}{x+1-x+1} = \dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

বা, $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

$\therefore x = \dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি: $\dfrac{1}{\sqrt2}-1+\sqrt2 - \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{-1}{\dfrac{1}{\sqrt2}} = -\sqrt2 < 1$

পদসংখ্যা, $n = 10$

যেহেতু $r < 1$, তাই প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র: $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} \left\{ 1 - (-\sqrt2)^{10} \right\}}{1 - (-\sqrt2)}$

এখানে, $(-\sqrt2)^{10} = 2^5 = 32$

$S_{10} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} (1 - 32)}{1 + \sqrt2}$

$= \dfrac{\dfrac{-31}{\sqrt2}}{1 + \sqrt2}$

$= \dfrac{-31}{\sqrt2(1 + \sqrt2)}$

$= \dfrac{-31}{\sqrt2 + 2}$

$= \dfrac{-31}{2 + \sqrt2}$

ভগ্নাংশের হর ও লবকে $(2 - \sqrt2)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$= \dfrac{-31(2 - \sqrt2)}{(2 + \sqrt2)(2 - \sqrt2)}$

$= \dfrac{-62 + 31\sqrt2}{2^2 - (\sqrt2)^2}$

$= \dfrac{31\sqrt2 - 62}{4 - 2}$

$= \dfrac{31\sqrt2 - 62}{2}$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{31\sqrt2 - 62}{2}$। Answer

Previous See All Next