সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৩

৪৩ $p=\dfrac{\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y}}{\sqrt{3x+2y}-\sqrt{3x-2y}}$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার ১ম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $2^{n+2}-4$

• (ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $7:11$ এবং এদের গ.সা.গু. $3$ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. নির্ণয় করো।
• (খ) প্রমাণ করো যে, $p^2y-3px+y=0$
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় করো।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সংখ্যা দুইটির অনুপাত $= 7:11$

ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে $7x$ এবং $11x$।

তাহলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. $= x$

প্রশ্নমতে,

$x = 3$

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো:

প্রথম সংখ্যা $= 7 \times 3 = 21$

দ্বিতীয় সংখ্যা $= 11 \times 3 = 33$

এখন, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।

$7x$ এবং $11x$ এর ল.সা.গু. $= 77x$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 77 \times 3$

$= 231$

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. $231$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \frac{\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y}}{\sqrt{3x+2y}-\sqrt{3x-2y}}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\frac{p+1}{p-1} = \frac{(\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y}) + (\sqrt{3x+2y}-\sqrt{3x-2y})}{(\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y}) - (\sqrt{3x+2y}-\sqrt{3x-2y})}$

বা, $\frac{p+1}{p-1} = \frac{\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y} + \sqrt{3x+2y}-\sqrt{3x-2y}}{\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y} - \sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y}}$

বা, $\frac{p+1}{p-1} = \frac{2\sqrt{3x+2y}}{2\sqrt{3x-2y}}$

বা, $\frac{p+1}{p-1} = \frac{\sqrt{3x+2y}}{\sqrt{3x-2y}}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{(p+1)^2}{(p-1)^2} = \frac{3x+2y}{3x-2y}$

বা, $\frac{p^2+2p+1}{p^2-2p+1} = \frac{3x+2y}{3x-2y}$

পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\frac{(p^2+2p+1)+(p^2-2p+1)}{(p^2+2p+1)-(p^2-2p+1)} = \frac{(3x+2y)+(3x-2y)}{(3x+2y)-(3x-2y)}$

বা, $\frac{p^2+2p+1+p^2-2p+1}{p^2+2p+1-p^2+2p-1} = \frac{3x+2y+3x-2y}{3x+2y-3x+2y}$

বা, $\frac{2p^2+2}{4p} = \frac{6x}{4y}$

বা, $\frac{2(p^2+1)}{4p} = \frac{3x}{2y}$

বা, $\frac{p^2+1}{2p} = \frac{3x}{2y}$

এখন আড়গুণন করে পাই,

$2y(p^2+1) = 2p \times 3x$

বা, $2yp^2 + 2y = 6px$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$yp^2 + y = 3px$

বা, $p^2y - 3px + y = 0$

$\therefore p^2y - 3px + y = 0$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = 2^{n+2}-4$

এখানে $n = 1$ বসিয়ে ১ম পদ ($S_1$) পাই,

$S_1 = 2^{1+2}-4 = 2^3-4 = 8-4 = 4$

$\therefore$ ধারাটির ১ম পদ, $a_1 = 4$

আবার, $n = 2$ বসিয়ে ১ম ২টি পদের সমষ্টি ($S_2$) পাই,

$S_2 = 2^{2+2}-4 = 2^4-4 = 16-4 = 12$

যেহেতু ১ম ২টি পদের সমষ্টি = ১ম পদ + ২য় পদ

$\therefore$ ধারাটির ২য় পদ, $a_2 = S_2 - S_1 = 12 - 4 = 8$

একইভাবে, $n = 3$ বসিয়ে ১ম ৩টি পদের সমষ্টি ($S_3$) পাই,

$S_3 = 2^{3+2}-4 = 2^5-4 = 32-4 = 28$

যেহেতু ১ম ৩টি পদের সমষ্টি = $S_2$ + ৩য় পদ

$\therefore$ ধারাটির ৩য় পদ, $a_3 = S_3 - S_2 = 28 - 12 = 16$

অতএব, প্রাপ্ত পদগুলো হলো: $4, 8, 16, \dots$

এখানে সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{8}{4} = 2$ এবং $\dfrac{16}{8} = 2$, যা একটি ধ্রুবক।

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো:

$4 + 8 + 16 + \cdots \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next