সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৪

৪৪ (i) $\dfrac{6}{x}=p^{-1}+q^{-1}$
(ii) $6+b+c+162+d$ একটি গুণোত্তর ধারা।

• (ক) $8+11+14+17+ \cdots \cdots \cdots$ ধারার $m$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) (ii) নং হতে $b$ এবং $d$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x+3p}{x-3p} + \dfrac{x+3q}{x-3q}=2$, যেখানে $p \neq q$

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $8+11+14+17+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 8$

সাধারণ অন্তর, $d = 11 - 8 = 14 - 11 = 3$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির $m$ তম পদ $= a+(m-1)d$

$= 8 + (m-1)3$

$= 8 + 3m - 3$

$= 3m + 5$

সুতরাং, ধারাটির $m$ তম পদ $3m + 5$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই, প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি: $6+b+c+162+d$

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 6$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

ধারাটির ৪র্থ পদ $= 162$

বা, $ar^{4-1} = 162$

বা, $ar^3 = 162$

বা, $6r^3 = 162$    [$a = 6$ বসিয়ে]

বা, $r^3 = \dfrac{162}{6}$

বা, $r^3 = 27$

বা, $r^3 = 3^3$

$\therefore r = 3$

এখন $b$ এবং $d$ এর মান নির্ণয় করি:

$b$ হলো ধারাটির ২য় পদ।

$\therefore b = ar^{2-1} = ar = 6 \times 3 = 18$

$d$ হলো ধারাটির ৫ম পদ।

$\therefore d = ar^{5-1} = ar^4 = 6 \times 3^4 = 6 \times 81 = 486$

সুতরাং, $b = 18$ এবং $d = 486$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$\dfrac{6}{x} = p^{-1} + q^{-1}$

বা, $\dfrac{6}{x} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}$

বা, $\dfrac{6}{x} = \dfrac{q+p}{pq}$

বা, $\dfrac{x}{6} = \dfrac{pq}{p+q}$    [বিপরীতকরণ করে]

বা, $x = \dfrac{6pq}{p+q}$ ........ (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে $3p$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{x}{3p} = \dfrac{6pq}{3p(p+q)}$

বা, $\dfrac{x}{3p} = \dfrac{2q}{p+q}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{x+3p}{x-3p} = \dfrac{2q+(p+q)}{2q-(p+q)}$

বা, $\dfrac{x+3p}{x-3p} = \dfrac{2q+p+q}{2q-p-q}$

বা, $\dfrac{x+3p}{x-3p} = \dfrac{p+3q}{q-p}$ ........ (ii)

আবার, সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে $3q$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{x}{3q} = \dfrac{6pq}{3q(p+q)}$

বা, $\dfrac{x}{3q} = \dfrac{2p}{p+q}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{x+3q}{x-3q} = \dfrac{2p+(p+q)}{2p-(p+q)}$

বা, $\dfrac{x+3q}{x-3q} = \dfrac{2p+p+q}{2p-p-q}$

বা, $\dfrac{x+3q}{x-3q} = \dfrac{3p+q}{p-q}$

বা, $\dfrac{x+3q}{x-3q} = \dfrac{3p+q}{-(q-p)}$    [হর থেকে মাইনাস কমন নিয়ে]

বা, $\dfrac{x+3q}{x-3q} = -\dfrac{3p+q}{q-p}$ ........ (iii)

এখন, সমীকরণ (ii) এবং (iii) যোগ করে পাই,

$\dfrac{x+3p}{x-3p} + \dfrac{x+3q}{x-3q} = \dfrac{p+3q}{q-p} - \dfrac{3p+q}{q-p}$

$= \dfrac{(p+3q) - (3p+q)}{q-p}$

$= \dfrac{p+3q - 3p - q}{q-p}$

$= \dfrac{2q - 2p}{q-p}$

$= \dfrac{2(q-p)}{q-p}$

$= 2$    [যেহেতু $p \neq q$, তাই $q-p \neq 0$]

$\therefore \dfrac{x+3p}{x-3p} + \dfrac{x+3q}{x-3q} = 2$ Proved

Previous See All Next