সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৫

৪৫ $7+12+17+ \cdots \cdots \cdots$ একটি সমান্তর ধারা এবং একটি গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ $=3\sqrt3$ ও ৮ম পদ $=-27$

• (ক) $4x+3y=6$ ও $x-2y=7$ সমীকরণদ্বয় এর সমাধান কর।
• (খ) সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $1197$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:

$4x+3y=6$ ........ (i)

$x-2y=7$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) হতে পাই,

$x = 7 + 2y$ ........ (iii)

এখন, $x$ এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,

$4(7 + 2y) + 3y = 6$

বা, $28 + 8y + 3y = 6$

বা, $11y = 6 - 28$

বা, $11y = -22$

বা, $y = \dfrac{-22}{11}$

$\therefore y = -2$

এখন, $y$ এর মান সমীকরণ (iii)-এ বসিয়ে পাই,

$x = 7 + 2(-2)$

$x = 7 - 4$

$\therefore x = 3$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: $(x, y) = (3, -2)$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি হলো: $7+12+17+ \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 12 - 7 = 17 - 12 = 5$

ধরি, ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = 1197$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = 1197$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2(7)+(n-1)5\} = 1197$

বা, $\dfrac{n}{2} \{14+5n-5\} = 1197$

বা, $n(5n+9) = 1197 \times 2$

বা, $5n^2+9n = 2394$

বা, $5n^2+9n-2394 = 0$

বা, $5n^2+114n-105n-2394 = 0$

বা, $n(5n+114) - 21(5n+114) = 0$

বা, $(5n+114)(n-21) = 0$

হয়, $5n+114 = 0$

বা, $5n = -114$

$\therefore n = -\dfrac{114}{5}$

অথবা, $n-21 = 0$

$\therefore n = 21$

যেহেতু পদসংখ্যা $n$ ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = -\dfrac{114}{5}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় $n$ এর মান $21$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৫ম পদ $= 3\sqrt3$

বা, $ar^{5-1} = 3\sqrt3$

বা, $ar^4 = 3\sqrt3$ ........ (i)

এবং ৮ম পদ $= -27$

বা, $ar^{8-1} = -27$

বা, $ar^7 = -27$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^7}{ar^4} = \dfrac{-27}{3\sqrt3}$

বা, $r^3 = -\dfrac{9}{\sqrt3}$

বা, $r^3 = -\dfrac{3 \times \sqrt3 \times \sqrt3}{\sqrt3}$

বা, $r^3 = -3\sqrt3$

বা, $r^3 = -(\sqrt3)^3$

বা, $r^3 = (-\sqrt3)^3$

$\therefore r = -\sqrt3$

এখন, $r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a(-\sqrt3)^4 = 3\sqrt3$

বা, $a \times 9 = 3\sqrt3$

বা, $a = \dfrac{3\sqrt3}{9}$

বা, $a = \dfrac{\sqrt3}{3}$

$\therefore a = \dfrac{1}{\sqrt3}$

অতএব, গুণোত্তর ধারাটির ২য় পদ $= ar = \dfrac{1}{\sqrt3} \times (-\sqrt3) = -1$

ধারাটির ৩য় পদ $= ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3} \times (-\sqrt3)^2 = \dfrac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো:

$\dfrac{1}{\sqrt3} - 1 + \sqrt3 - \cdots \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next