সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৬

৪৬ ১ম ধারা: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt2}+1+ \cdots \cdots \cdots$
২য় ধারা: $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$

• (ক) $x(x-a)=(x-a)$ সমীকরণের সমাধান সেট নির্ণয় কর।
• (খ) ১ম ধারার প্রথম দশ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ২য় ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $714$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণ:

$x(x-a)=(x-a)$

বা, $x(x-a) - (x-a) = 0$

বা, $(x-a)(x - 1) = 0$

হয়, $x-a = 0$

$\therefore x = a$

অথবা, $x-1 = 0$

$\therefore x = 1$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \{a, 1\}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

১ম ধারাটি হলো: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt2}+1+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt2} \times \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 > 1$

পদসংখ্যা, $n = 10$

যেহেতু $r > 1$, তাই প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র: $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \left\{ (\sqrt2)^{10} - 1 \right\}}{\sqrt2 - 1}$

এখানে, $(\sqrt2)^{10} = 2^5 = 32$

$S_{10} = \dfrac{\dfrac{1}{2} (32 - 1)}{\sqrt2 - 1}$

$= \dfrac{\dfrac{31}{2}}{\sqrt2 - 1}$

$= \dfrac{31}{2(\sqrt2 - 1)}$

ভগ্নাংশের হর ও লবকে $(\sqrt2 + 1)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$= \dfrac{31(\sqrt2 + 1)}{2(\sqrt2 - 1)(\sqrt2 + 1)}$

$= \dfrac{31(\sqrt2 + 1)}{2\{(\sqrt2)^2 - 1^2\}}$

$= \dfrac{31(\sqrt2 + 1)}{2(2 - 1)}$

$= \dfrac{31(\sqrt2 + 1)}{2(1)}$

$= \dfrac{31(\sqrt2 + 1)}{2}$

সুতরাং, ১ম ধারার প্রথম দশ পদের সমষ্টি $\dfrac{31(\sqrt2 + 1)}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

২য় ধারাটি হলো: $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 4$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 4 = 10 - 7 = 3$

দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = 714$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = 714$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2(4)+(n-1)3\} = 714$

বা, $\dfrac{n}{2} \{8+3n-3\} = 714$

বা, $n(3n+5) = 714 \times 2$

বা, $3n^2+5n = 1428$

বা, $3n^2+5n-1428 = 0$

বা, $3n^2+68n-63n-1428 = 0$

বা, $n(3n+68) - 21(3n+68) = 0$

বা, $(3n+68)(n-21) = 0$

হয়, $3n+68 = 0$

বা, $3n = -68$

$\therefore n = -\dfrac{68}{3}$

অথবা, $n-21 = 0$

$\therefore n = 21$

যেহেতু পদসংখ্যা $n$ ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = -\dfrac{68}{3}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় $n$ এর মান $21$। Answer

Previous See All Next