সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫৯

৫৯ $7+x+y+189$ একটি গুণোত্তর ধারা।

• (ক) ধারাটির চতুর্থ পদকে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর, যেখানে প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।
• (খ) $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অনুপাতকে সাধারণ অন্তর ধরে সমান্তর ধারাটি নির্ণয় করে এর প্রথম $16$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$7+x+y+189$ একটি গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$

এখানে ধারাটির চতুর্থ পদ $= 189$, তাই $k=4$ বসিয়ে পাই,

চতুর্থ পদ $= ar^{4-1} = ar^3$

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণ,

$ar^3 = 189$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারা $7+x+y+189$ হতে পাই,

প্রথম পদ, $a = 7$

(ক) হতে পাই,

$ar^3 = 189$

$a=7$ বসিয়ে পাই,

$7r^3 = 189$

বা, $r^3 = \dfrac{189}{7}$

বা, $r^3 = 27$

বা, $r^3 = 3^3$

$\therefore r = 3$

এখন,

$x$ হলো ধারাটির ২য় পদ, তাই

$x = ar = 7\times 3 = 21$

$y$ হলো ধারাটির ৩য় পদ, তাই

$y = ar^2 = 7\times 3^2 = 7\times 9 = 63$

সুতরাং, $x = 21$ এবং $y = 63$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(ক) ও (খ) হতে পাই, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $a = 7$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = 3$।

প্রশ্নমতে, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদকে সমান্তর ধারার প্রথম পদ এবং গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাতকে সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ধরতে হবে।

সুতরাং গঠিত সমান্তর ধারার,

প্রথম পদ, $a_1 = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 3$

অর্থাৎ নির্ণেয় সমান্তর ধারাটি হলো,

$7+10+13+16+ \cdots \cdots \cdots$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$

এখানে $n=16$ বসিয়ে পাই,

$S_{16} = \dfrac{16}{2}\{2\times 7+(16-1)\times 3\}$

$= 8(14+45)$

$= 8\times 59$

$= 472$

সুতরাং, গঠিত সমান্তর ধারাটি $7+10+13+16+\cdots$ এবং এর প্রথম $16$টি পদের সমষ্টি $472$। Answer

Previous See All Next