সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫৮

৫৮ দুপুর $3$টা $25$ মিনিটে $1$ জন এস.এস.সি পরীক্ষার্থী রেজাল্ট জানতে পারল। $3$টা $30$ মিনিটে জানল $8$ জন, $3$টা $35$ মিনিটে জানল $27$ জন। এভাবে রেজাল্ট ছড়িয়ে পড়ল।

• (ক) গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
• (খ) $4$টা $15$ মিনিট পর্যন্ত মোট কত জন রেজাল্ট জানতে পারবে?
• (গ) কয়টার সময় $3132900$ জন রেজাল্ট জানতে পারবে?

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

মনে করি, একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।

তাহলে ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

যখন $r>1$:   $S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$

যখন $r < 1$:   $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$

যখন $r=1$:   $S_n = na$

এটিই গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

লক্ষ করি,

$3$টা $25$ মিনিটে নতুন করে জানল $= 1 = 1^3$ জন

$3$টা $30$ মিনিটে নতুন করে জানল $= 8 = 2^3$ জন

$3$টা $35$ মিনিটে নতুন করে জানল $= 27 = 3^3$ জন

অর্থাৎ, $5$ মিনিট পর পর ($n$তম ধাপে) নতুন করে যত জন জানছে তা হলো $n^3$ জন, যেখানে $3$টা $25$ মিনিট হলো $n=1$।

সুতরাং $n$তম ধাপ পর্যন্ত (অর্থাৎ প্রথম $n$টি ধাপ শেষে) মোট যত জন জানবে তা হলো,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3$

আমরা জানি, $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

এখন, $3$টা $25$ মিনিট থেকে $4$টা $15$ মিনিট পর্যন্ত সময়ের ব্যবধান,

$=4$টা $15$ মিনিট $-$ $3$টা $25$ মিনিট

$= 50$ মিনিট

যেহেতু প্রতি $5$ মিনিট পর পর একটি নতুন ধাপ শুরু হয়, তাই অতিরিক্ত ধাপের সংখ্যা $= \dfrac{50}{5} = 10$টি।

যেহেতু $3$টা $25$ মিনিট হলো $n=1$, তাই $4$টা $15$ মিনিট পর্যন্ত মোট ধাপ, $n = 1+10 = 11$

সুতরাং, $4$টা $15$ মিনিট পর্যন্ত মোট যত জন রেজাল্ট জানবে,

$= \left\{\dfrac{11(11+1)}{2}\right\}^2$

$= \left\{\dfrac{11 \times 12}{2}\right\}^2$

$= (66)^2$

$= 4356$

সুতরাং, $4$টা $15$ মিনিট পর্যন্ত মোট $4356$ জন রেজাল্ট জানতে পারবে। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(খ) হতে পাই, $n$তম ধাপ পর্যন্ত মোট যত জন জানবে,

$= \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

প্রশ্নমতে,

$\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2 = 3132900$

বা, $\dfrac{n(n+1)}{2} = \sqrt{3132900}$

বা, $\dfrac{n(n+1)}{2} = 1770$

বা, $n(n+1) = 3540$

বা, $n^2+n-3540=0$

বা, $n^2+60n-59n-3540=0$

বা, $n(n+60)-59(n+60)=0$

বা, $(n+60)(n-59)=0$

হয়, $n+60=0$

$\therefore n=-60$

অথবা, $n-59=0$

$\therefore n=59$

যেহেতু $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধাপ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না), তাই $n=-60$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n = 59$

এখন, $n=1$ ধাপ অর্থাৎ $3$টা $25$ মিনিট থেকে $n=59$ ধাপ পর্যন্ত পৌঁছাতে অতিরিক্ত ধাপ লাগবে $= 59-1 = 58$টি।

প্রতিটি ধাপের ব্যবধান $5$ মিনিট, তাই সময়ের ব্যবধান,

$= 58\times 5$ মিনিট

$= 290$ মিনিট

$= 4$ ঘণ্টা $50$ মিনিট

সুতরাং নির্ণেয় সময় $= 3$টা $25$ মিনিট $+ 4$ ঘণ্টা $50$ মিনিট $= 8$টা $15$ মিনিট (রাত)

সুতরাং, রাত $8$টা $15$ মিনিটে $3132900$ জন রেজাল্ট জানতে পারবে। Answer

Previous See All Next