সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬১

৬১ (i) $(x+y)^2=\sqrt[3]{27}$, $(x-y)^2=\sqrt[3]{8}$
(ii) $\dfrac{6}{x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

• (ক) একটি সমান্তর ধারার $17$ তম পদ $-23$ হলে, এর প্রথম $33$টি পদের সমষ্টি কত?
• (খ) উদ্দীপকের (i) নং সম্পর্ক হতে দেখাও যে, $\left(4x^3+\dfrac{1}{16x^3}\right)=9\sqrt3$
• (গ) উদ্দীপকের (ii) নং সম্পর্ক হতে দেখাও যে, $\dfrac{x+3a}{x-3a}+\dfrac{x+3b}{x-3b}=2$; যেখানে, $a\neq b$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারার ১৭ তম পদ $=-23$

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

এখানে $n=33$ বসিয়ে পাই,

$S_{33} = \dfrac{33}{2}\{2a+32d\}$

$= 33(a+16d)$

লক্ষ করি, $a+16d$ হলো সমান্তর ধারাটির ১৭তম পদ $\left(\because a_{17}=a+(17-1)d=a+16d\right)$

প্রশ্নমতে, $a_{17}=a+16d=-23$

সুতরাং,

$S_{33} = 33\times a_{17}$

$= 33\times(-23)$

$= -759$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $33$টি পদের সমষ্টি $-759$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$(x+y)^2=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

$(x-y)^2=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$

উভয়পক্ষের বর্গমূল নিয়ে পাই,

$x+y=\sqrt3$ ........ (i)

$x-y=\sqrt2$ ........ (ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$(x+y)+(x-y)=\sqrt3+\sqrt2$

বা, $2x=\sqrt3+\sqrt2$ ........ (iii)

এখন, $\dfrac{1}{2x}$ নির্ণয় করি,

$\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$

লব ও হর কে $(\sqrt3-\sqrt2)$ দ্বারা গুণ করে (হরের করণী নিরসন করে) পাই,

$\dfrac{1}{2x}=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}$

$=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}$

$=\sqrt3-\sqrt2$ ........ (iv)

(iii) ও (iv) নং যোগ করে পাই,

$2x+\dfrac{1}{2x}=(\sqrt3+\sqrt2)+(\sqrt3-\sqrt2)$

$=2\sqrt3$ ........ (v)

আমরা জানি, $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$, এখানে $a=2x$ এবং $b=\dfrac{1}{2x}$ ধরে (যেহেতু $ab=1$) পাই,

$(2x)^3+\left(\dfrac{1}{2x}\right)^3=\left(2x+\dfrac{1}{2x}\right)^3-3\left(2x+\dfrac{1}{2x}\right)$

(v) নং হতে মান বসিয়ে পাই,

$8x^3+\dfrac{1}{8x^3}=(2\sqrt3)^3-3(2\sqrt3)$

$=8\times3\sqrt3-6\sqrt3$

$=24\sqrt3-6\sqrt3$

$=18\sqrt3$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$4x^3+\dfrac{1}{16x^3}=\dfrac{18\sqrt3}{2}$

$\therefore 4x^3+\dfrac{1}{16x^3}=9\sqrt3$

সুতরাং, $\left(4x^3+\dfrac{1}{16x^3}\right)=9\sqrt3$। Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\dfrac{6}{x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

ডানপক্ষকে সমহর করে পাই,

$\dfrac{6}{x}=\dfrac{a+b}{ab}$

বা, $x=\dfrac{6ab}{a+b}$ ........ (i)

$x$ এর মান বসিয়ে $\dfrac{x+3a}{x-3a}$ নির্ণয় করি,

লব $x+3a$

$=\dfrac{6ab}{a+b}+3a$

$=\dfrac{6ab+3a(a+b)}{a+b}$

$=\dfrac{6ab+3a^2+3ab}{a+b}$

$=\dfrac{3a^2+9ab}{a+b}$

$=\dfrac{3a(a+3b)}{a+b}$

হর $x-3a$

$=\dfrac{6ab}{a+b}-3a$

$=\dfrac{6ab-3a(a+b)}{a+b}$

$=\dfrac{6ab-3a^2-3ab}{a+b}$

$=\dfrac{3ab-3a^2}{a+b}$

$=\dfrac{-3a(a-b)}{a+b}$

সুতরাং,

$\dfrac{x+3a}{x-3a}$

$=\dfrac{\frac{3a(a+3b)}{a+b}}{\frac{-3a(a-b)}{a+b}}$

$=\dfrac{3a(a+3b)}{a+b}\times\dfrac{a+b}{-3a\left(a-b\right)}$

$=\dfrac{a+3b}{-(a-b)}$

$=\dfrac{a+3b}{b-a}$ ........ (ii)

আবার, $x$ এর মান বসিয়ে $\dfrac{x+3b}{x-3b}$ নির্ণয় করি,

লব $x+3b$

$=\dfrac{6ab}{a+b}+3b$

$=\dfrac{6ab+3b(a+b)}{a+b}$

$=\dfrac{6ab+3ab+3b^2}{a+b}$

$=\dfrac{9ab+3b^2}{a+b}$

$=\dfrac{3b(3a+b)}{a+b}$

হর $x-3b$

$=\dfrac{6ab}{a+b}-3b$

$=\dfrac{6ab-3b(a+b)}{a+b}$

$=\dfrac{6ab-3ab-3b^2}{a+b}$

$=\dfrac{3ab-3b^2}{a+b}$

$=\dfrac{3b(a-b)}{a+b}$

সুতরাং,

$\dfrac{x+3b}{x-3b}$

$=\dfrac{\frac{3b(3a+b)}{a+b}}{\frac{3b(a-b)}{a+b}}$

$=\dfrac{3b(3a+b)}{a+b} \times \dfrac{a+b}{3b(a-b)}$

$=\dfrac{3a+b}{a-b}$ ........ (iii)

এখন, (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$\dfrac{x+3a}{x-3a}+\dfrac{x+3b}{x-3b}$

$=\dfrac{a+3b}{b-a}+\dfrac{3a+b}{a-b}$

$=\dfrac{a+3b}{-(a-b)}+\dfrac{3a+b}{a-b}$

$=-\dfrac{a+3b}{a-b}+\dfrac{3a+b}{a-b}$

$=\dfrac{3a+b}{a-b}-\dfrac{a+3b}{a-b}$

$=\dfrac{(3a+b)-(a+3b)}{a-b}$

$=\dfrac{3a+b-a-3b}{a-b}$

$=\dfrac{2a-2b}{a-b}$

$=\dfrac{2(a-b)}{a-b}$

$=2$    [যেহেতু $a\neq b$]

সুতরাং, $\dfrac{x+3a}{x-3a}+\dfrac{x+3b}{x-3b}=2$। Showed

Previous See All Next