সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬২

৬২ (i) একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম ও দশম পদ যথাক্রমে $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ এবং $\dfrac{2}{81}$।
(ii) $P=9+7+5+ \cdots \cdots \cdots +n$; যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

• (ক) একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ $55$ হলে, ধারাটির প্রথম $11$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) (i) হতে চতুর্থ পদ নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) এ $P=-144$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর। ঐ সংখ্যক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ $=55$

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

এখানে $n=11$ বসিয়ে পাই,

$S_{11} = \dfrac{11}{2}\{2a+10d\}$

$= 11(a+5d)$

লক্ষ করি, $a+5d$ হলো সমান্তর ধারাটির ষষ্ঠ পদ $\left(\because a_6=a+(6-1)d=a+5d\right)$

প্রশ্নমতে, $a_6=a+5d=55$

সুতরাং,

$S_{11} = 11\times a_6$

$= 11\times 55$

$= 605$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $11$টি পদের সমষ্টি $605$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$

প্রশ্নমতে,

৫ম পদ, $ar^4 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$ ........ (i)

১০ম পদ, $ar^9 = \dfrac{2}{81}$ ........ (ii)

(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^4} = \dfrac{\frac{2}{81}}{\frac{2\sqrt3}{9}}$

বা, $r^5 = \dfrac{2}{81}\times\dfrac{9}{2\sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{9}{81\sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{1}{9\sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{1}{3^2\times 3^{\frac{1}{2}}}$

বা, $r^5 = 3^{-\frac{5}{2}}$

বা, $r^5 = \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^5$

$\therefore r = 3^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

$r$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$a\times\left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^4 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $a\times 3^{-2} = 2\times 3^{-\frac{3}{2}}$

বা, $a = 2\times 3^{-\frac{3}{2}+2}$

বা, $a = 2\times 3^{\frac{1}{2}}$

$\therefore a = 2\sqrt3$

এখন, গুণোত্তর ধারাটির চতুর্থ পদ,

$= ar^{4-1} = ar^3$

$= 2\sqrt3\times\left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^3$

$= 2\times 3^{\frac{1}{2}}\times 3^{-\frac{3}{2}}$

$= 2\times 3^{-1}$

$= \dfrac{2}{3}$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির চতুর্থ পদ $\dfrac{2}{3}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P=9+7+5+\cdots\cdots\cdots+n$

এখানে,

প্রথম পদ, $a=9$

সাধারণ অন্তর, $d=7-9=-2$

মনে করি, ধারাটিতে পদসংখ্যা $=k$টি, অর্থাৎ শেষ পদ $n$ হলো ধারাটির $k$তম পদ।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $k$ পদের সমষ্টি, $P = \dfrac{k}{2}\{2a+(k-1)d\}$

$a=9$ ও $d=-2$ বসিয়ে পাই,

$P = \dfrac{k}{2}\{18+(k-1)(-2)\}$

$= \dfrac{k}{2}(18-2k+2)$

$= \dfrac{k}{2}(20-2k)$

$= k(10-k)$

প্রশ্নমতে,

$k(10-k) = -144$

বা, $10k-k^2=-144$

বা, $k^2-10k-144=0$

বা, $k^2-18k+8k-144=0$

বা, $k(k-18)+8(k-18)=0$

বা, $(k-18)(k+8)=0$

হয়, $k-18=0$

$\therefore k=18$

অথবা, $k+8=0$

$\therefore k=-8$

যেহেতু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $k=-8$ গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং, $k=18$।

এখন, ধারাটির শেষ পদ (অর্থাৎ $n$ এর মান) নির্ণয় করি,

$n = a+(k-1)d$

$= 9+(18-1)\times(-2)$

$= 9+17\times(-2)$

$= 9-34$

$= -25$

সুতরাং, $n=-25$। Answer

ঐ সংখ্যক (অর্থাৎ $18$ সংখ্যক) সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়:

আমরা জানি, প্রথম $k$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি,

$1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

এখানে $k=18$ বসিয়ে পাই,

$1^2+2^2+\cdots+18^2 = \dfrac{18\times(18+1)\times(2\times 18+1)}{6}$

$= \dfrac{18\times 19\times 37}{6}$

$= \dfrac{12654}{6}$

$= 2109$

সুতরাং, ঐ সংখ্যক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $2109$। Answer

Previous See All Next