সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬৩

৬৩ $6+x+y+z+\dfrac{3}{8}$ একটি গুণোত্তর ধারা এবং একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ ও $11$ তম পদ যথাক্রমে $30$ ও $55$।

• (ক) $3+6+9+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $20$টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
• (খ) $x$, $y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) যদি সমান্তর ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $6375$ হয়, তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$3+6+9+ \cdots \cdots \cdots$ একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 6-3 = 3$

পদসংখ্যা, $n = 20$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

$S_{20} = \dfrac{20}{2}\{2\times 3+(20-1)\times 3\}$

$= 10(6+57)$

$= 10\times 63$

$= 630$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $20$টি পদের যোগফল $630$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, গুণোত্তর ধারাটি: $6+x+y+z+\dfrac{3}{8}$

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 6$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$

ধারাটিতে ৫ম পদ $= \dfrac{3}{8}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{5-1} = \dfrac{3}{8}$

বা, $ar^4 = \dfrac{3}{8}$

বা, $6r^4 = \dfrac{3}{8}$    [$a=6$ বসিয়ে]

বা, $r^4 = \dfrac{3}{8\times 6}$

বা, $r^4 = \dfrac{1}{16}$

বা, $r^4 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4$

$\therefore r = \dfrac{1}{2}$

এখন $x, y, z$ এর মান নির্ণয় করি:

$x$ হলো ধারাটির ২য় পদ $\implies x = ar^{2-1} = ar = 6\times\dfrac{1}{2} = 3$

$y$ হলো ধারাটির ৩য় পদ $\implies y = ar^{3-1} = ar^2 = 6\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 6\times\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}$

$z$ হলো ধারাটির ৪র্থ পদ $\implies z = ar^{4-1} = ar^3 = 6\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 6\times\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4}$

সুতরাং, $x = 3$, $y = \dfrac{3}{2}$ এবং $z = \dfrac{3}{4}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ, $a_n = a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

ষষ্ঠ পদ, $a+5d = 30$ ........ (i)

১১তম পদ, $a+10d = 55$ ........ (ii)

(ii) নং হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+10d)-(a+5d) = 55-30$

বা, $5d = 25$

$\therefore d = 5$

$d$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$a+5\times 5 = 30$

বা, $a+25=30$

$\therefore a=5$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

$a=5$ ও $d=5$ বসিয়ে পাই,

$S_n = \dfrac{n}{2}\{2\times 5+(n-1)\times 5\}$

$= \dfrac{n}{2}(10+5n-5)$

$= \dfrac{n}{2}(5n+5)$

$= \dfrac{5n(n+1)}{2}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{5n(n+1)}{2} = 6375$

বা, $5n(n+1) = 12750$

বা, $n(n+1) = 2550$

বা, $n^2+n-2550=0$

বা, $n^2+n-2550=0$

বা, $n^2+51n-50n-2550=0$

বা, $n\left(n+51\right)-50\left(n+51\right)=0$

বা, $\left(n+51\right)\left(n-50\right)=0$

হয়, $n+51=0$

$\therefore n=-51$

অথবা, $n-50=0$

$\therefore n=50$

যেহেতু $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না), তাই $n=-51$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n = 50$। Answer

Previous See All Next