সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬৪

৬৪ (i) $b^2p-2b+p=0$
(ii) $3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $t$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1533$

• (ক) $l$, $m$, $n$ ক্রমিক সমানুপাতিক হলে, দেখাও যে, $\dfrac{l}{n}=\dfrac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$
• (খ) (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, $b=\dfrac{\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}}{\sqrt{1+p}-\sqrt{1-p}}$
• (গ) (ii) নং হতে $t$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$l$, $m$, $n$ ক্রমিক সমানুপাতিক।

আমরা জানি, তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতিক হলে, $\dfrac{l}{m}=\dfrac{m}{n}$

মনে করি, $\dfrac{l}{m}=\dfrac{m}{n}=k$ (ধ্রুবক)

তাহলে,

$l=mk$ ........ (i)

$m=nk$ ........ (ii)

(ii) নং হতে $m$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$l=(nk)k=nk^2$

সুতরাং,

$l=nk^2$, $m=nk$, $n=n$

এখন, বামপক্ষ $=\dfrac{l}{n}=\dfrac{nk^2}{n}=k^2$

ডানপক্ষ $=\dfrac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$

$=\dfrac{(nk^2)^2+(nk)^2}{(nk)^2+n^2}$

$=\dfrac{n^2k^4+n^2k^2}{n^2k^2+n^2}$

$=\dfrac{n^2k^2(k^2+1)}{n^2(k^2+1)}$

$=k^2$

যেহেতু বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ $=k^2$, তাই

$\dfrac{l}{n}=\dfrac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$। Showed

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$b^2p-2b+p=0$

এটিকে $b$ এর সাপেক্ষে দ্বিঘাত সমীকরণ ধরে লিখি,

$pb^2-2b+p=0$

এখানে, $a=p$, $b$(সহগ)$=-2$, $c=p$ ধরে দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$b = \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times p\times p}}{2\times p}$

$= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4p^2}}{2p}$

$= \dfrac{2\pm 2\sqrt{1-p^2}}{2p}$

$= \dfrac{1\pm\sqrt{1-p^2}}{p}$

ধনাত্মক চিহ্ন গ্রহণ করে পাই,

$b = \dfrac{1+\sqrt{1-p^2}}{p}$ ........ (i)

এখন, প্রদত্ত রাশির ডানপক্ষ বিবেচনা করি,

$\dfrac{\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}}{\sqrt{1+p}-\sqrt{1-p}}$

$=\dfrac{\left(\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}\right)\left(\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}\right)}{\left(\sqrt{1+p}-\sqrt{1-p}\right)\left(\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}\right)}$

$=\dfrac{\left(\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}\right)^2}{\left(\sqrt{1+p}\right)^2-\left(\sqrt{1-p}\right)^2}$

$=\dfrac{\left(\sqrt{1+p})^2+2\cdot\sqrt{1+p}\right.\cdot\sqrt{1-p}+\left(\sqrt{1-p}\right)^2}{\left(\sqrt{1+p}\right)^2-\left(\sqrt{1-p}\right)^2}$

$=\dfrac{1+p+2\sqrt{\left(1+p\right)\left(1-p\right)}+1-p}{1+p-1+p}$

$=\dfrac{2+2\sqrt{1^2-p^2}}{2p}$

$=\dfrac{2\left\lbrace1+\sqrt{1-p^2}\right\rbrace}{2p}$

$=\dfrac{1+\sqrt{1-p^2}}{p}$ ........ (ii)

(i) ও (ii) নং তুলনা করে দেখা যায়,

$b=\dfrac{1+\sqrt{1-p^2}}{p}=\dfrac{\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}}{\sqrt{1+p}-\sqrt{1-p}}$

সুতরাং, $b=\dfrac{\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}}{\sqrt{1+p}-\sqrt{1-p}}$। Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{6}{3} = 2$

যেহেতু $r>1$, তাই আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $t$ পদের সমষ্টি,

$S_t = \dfrac{a(r^t-1)}{r-1}$

$a=3$ ও $r=2$ বসিয়ে পাই,

$S_t = \dfrac{3(2^t-1)}{2-1}$

$= 3(2^t-1)$

প্রশ্নমতে,

$3(2^t-1) = 1533$

বা, $2^t-1 = \dfrac{1533}{3}$

বা, $2^t-1 = 511$

বা, $2^t = 512$

বা, $2^t = 2^9$

যেহেতু উভয়পক্ষের ভিত্তি সমান, তাই সূচকও সমান হবে।

$\therefore t = 9$

সুতরাং, $t$ এর মান $9$। Answer

Previous See All Next