সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৮

৪৮ (i) $y^2=xy$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং ৬ষ্ঠ পদ $\dfrac{2\sqrt2}{9}$

• (ক) $10+7+4+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $-80$?
• (খ) $\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}=\dfrac{(x+y)^2}{(y+z)^2}$ হলে, উদ্দীপকের (i) নং প্রতিষ্ঠিত কর।
• (গ) (ii) নং উদ্দীপকের আলোকে ধারাটির নবম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $10+7+4+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 10$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 10 = -3$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= -80$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = -80$

বা, $10 + (n-1)(-3) = -80$

বা, $(n-1)(-3) = -80 - 10$

বা, $(n-1)(-3) = -90$

বা, $n-1 = \dfrac{-90}{-3}$

বা, $n-1 = 30$

বা, $n = 30 + 1$

$\therefore n = 31$

সুতরাং, ধারাটির ৩১-তম পদ $-80$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2} = \dfrac{(x+y)^2}{(y+z)^2}$

বা, $\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2} = \dfrac{x^2+2xy+y^2}{y^2+2yz+z^2}$

একান্তরকরণ করে পাই,

$\dfrac{x^2+y^2}{x^2+2xy+y^2} = \dfrac{y^2+z^2}{y^2+2yz+z^2}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{(x^2+y^2) + (x^2+2xy+y^2)}{(x^2+y^2) - (x^2+2xy+y^2)} = \dfrac{(y^2+z^2) + (y^2+2yz+z^2)}{(y^2+z^2) - (y^2+2yz+z^2)}$

বা, $\dfrac{2x^2+2y^2+2xy}{-2xy} = \dfrac{2y^2+2z^2+2yz}{-2yz}$

উভয়পক্ষকে $-2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{x^2+y^2+xy}{xy} = \dfrac{y^2+z^2+yz}{yz}$

উভয়পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\dfrac{x^2+y^2+xy}{x} = \dfrac{y^2+z^2+yz}{z}$

বা, $z(x^2+y^2+xy) = x(y^2+z^2+yz)$

বা, $x^2z + y^2z + xyz = xy^2 + xz^2 + xyz$

বা, $x^2z - xz^2 + y^2z - xy^2 = 0$

বা, $xz(x - z) - y^2(x - z) = 0$

বা, $(x - z)(xz - y^2) = 0$

যেহেতু $x \neq z$ (কারণ $x = z$ হলে অনুপাতটি অর্থহীন হয়ে যায়), তাই $x - z \neq 0$

সুতরাং, $xz - y^2 = 0$

বা, $y^2 = xz$

[বিঃদ্রঃ প্রশ্নে $y^2=xy$ প্রমাণ করতে বলা হয়েছে, কিন্তু গাণিতিকভাবে এটি $y^2=xz$ হবে। এটি উদ্দীপকের একটি টাইপিং ত্রুটি হতে পারে।]

$\therefore y^2 = xz$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৩য় পদ $= \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $ar^{3-1} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ........ (i)

এবং ৬ষ্ঠ পদ $= \dfrac{2\sqrt2}{9}$

বা, $ar^{6-1} = \dfrac{2\sqrt2}{9}$

বা, $ar^5 = \dfrac{2\sqrt2}{9}$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^5}{ar^2} = \dfrac{\dfrac{2\sqrt2}{9}}{\dfrac{1}{\sqrt3}}$

বা, $r^3 = \dfrac{2\sqrt2}{9} \times \sqrt3$

বা, $r^3 = \dfrac{2\sqrt2}{3 \times 3} \times \sqrt3$

বা, $r^3 = \dfrac{(\sqrt2)^3}{\sqrt3 \times \sqrt3 \times \sqrt3 \times \sqrt3} \times \sqrt3$

বা, $r^3 = \dfrac{(\sqrt2)^3}{(\sqrt3)^3}$

বা, $r^3 = \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^3$

$\therefore r = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$

এখন, $r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a = \dfrac{1}{\sqrt3} \times \dfrac{3}{2}$

বা, $a = \dfrac{1}{\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3 \times \sqrt3}{2}$

$\therefore a = \dfrac{\sqrt3}{2}$

আমাদের ধারাটির নবম ($9$-তম) পদ নির্ণয় করতে হবে।

৯ম পদ $= ar^{9-1} = ar^8$

$= \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right) \times \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^8$

$= \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right) \times \dfrac{(\sqrt2)^8}{(\sqrt3)^8}$

$= \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{2^4}{3^4}$

$= \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{16}{81}$

$= \dfrac{8\sqrt3}{81}$

সুতরাং, ধারাটির নবম পদ $\dfrac{8\sqrt3}{81}$। Answer

Previous See All Next