সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৭

৪৭ (i) $\dfrac{1}{\sqrt5}-1+\sqrt5- \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা।
(ii) $(ax-cy,a^2-c^2)=(0,ay-cx)$

• (ক) $5+17+29+ \cdots \cdots \cdots$ ধারটির কোন পদ $101$, তা নির্ণয় কর।
• (খ) (i) হতে ধারাটির কততম পদ $3125\sqrt5$, তা নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) হতে আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $5+17+29+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 17 - 5 = 12$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 101$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 101$

বা, $5 + (n-1)12 = 101$

বা, $12(n-1) = 101 - 5$

বা, $12(n-1) = 96$

বা, $n-1 = \dfrac{96}{12}$

বা, $n-1 = 8$

বা, $n = 8 + 1$

$\therefore n = 9$

সুতরাং, ধারাটির ৯-তম পদ $101$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি: $\dfrac{1}{\sqrt5}-1+\sqrt5- \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt5}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{-1}{\dfrac{1}{\sqrt5}} = -1 \times \dfrac{\sqrt5}{1} = -\sqrt5$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 3125\sqrt5$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{n-1} = 3125\sqrt5$

বা, $\left(\frac{1}{\sqrt5}\right) (-\sqrt5)^{n-1} = 3125\sqrt5$

বা, $(-\sqrt5)^{n-1} = 3125\sqrt5 \times \sqrt5$

বা, $(-\sqrt5)^{n-1} = 3125 \times 5$

বা, $(-\sqrt5)^{n-1} = 15625$

এখন, $15625$ কে ভিত্তি $(-\sqrt5)$ এর সূচক হিসেবে প্রকাশ করি:

$15625 = 5^6 = \left\{(\sqrt5)^2\right\}^6 = (\sqrt5)^{12}$

যেহেতু সূচক $12$ একটি জোড় সংখ্যা, তাই $(\sqrt5)^{12} = (-\sqrt5)^{12}$ লেখা যায়।

$\therefore (-\sqrt5)^{n-1} = (-\sqrt5)^{12}$

ভিত্তি সমান হওয়ায় সূচকগুলোও সমান হবে,

বা, $n - 1 = 12$

বা, $n = 12 + 1$

$\therefore n = 13$

সুতরাং, ধারাটির ১৩-তম পদ $3125\sqrt5$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$(ax-cy, a^2-c^2) = (0, ay-cx)$

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,

$ax - cy = 0$ ........ (i)

এবং $ay - cx = a^2 - c^2$

বা, $-cx + ay - (a^2 - c^2) = 0$ ........ (ii)

আড়গুণন পদ্ধতির জন্য সমীকরণ দুটিকে সাজিয়ে লিখি:

$ax - cy + 0 = 0$

$cx - ay + (a^2 - c^2) = 0$    [সমীকরণ (ii) কে মাইনাস দিয়ে গুণ করে]

আড়গুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{(-c)(a^2-c^2) - (-a)(0)} = \frac{y}{(0)(c) - (a)(a^2-c^2)} = \frac{1}{(a)(-a) - (c)(-c)}$

বা, $\frac{x}{-c(a^2-c^2) - 0} = \frac{y}{0 - a(a^2-c^2)} = \frac{1}{-a^2 + c^2}$

বা, $\frac{x}{-c(a^2-c^2)} = \frac{y}{-a(a^2-c^2)} = \frac{1}{-(a^2-c^2)}$

এখন, ১ম ও ৩য় অনুপাত হতে পাই,

$\frac{x}{-c(a^2-c^2)} = \frac{1}{-(a^2-c^2)}$

বা, $x = \frac{-c(a^2-c^2)}{-(a^2-c^2)}$

$\therefore x = c$

আবার, ২য় ও ৩য় অনুপাত হতে পাই,

$\frac{y}{-a(a^2-c^2)} = \frac{1}{-(a^2-c^2)}$

বা, $y = \frac{-a(a^2-c^2)}{-(a^2-c^2)}$

$\therefore y = a$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $(x, y) = (c, a)$। Answer

Previous See All Next