সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫৬

৫৬ কোনো সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $p^2$ এবং $q$ তম পদ $q^2$, অপর একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং ৮ম পদ $\dfrac{1}{27}$।

• (ক) $5+11+17+23+ \cdots \cdots \cdots +59=$ কত?
• (খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $(p+q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$5+11+17+23+ \cdots \cdots \cdots +59$

এখানে,

প্রথম পদ, $a_1 = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 11-5 = 6$

শেষ পদ, $a_n = 59$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ, $a_n = a_1+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$5+(n-1)\times 6 = 59$

বা, $(n-1)\times 6 = 54$

বা, $n-1 = 9$

$\therefore n = 10$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$

$S_{10} = \dfrac{10}{2}(5+59)$

$= 5 \times 64$

$= 320$

সুতরাং, $5+11+17+23+ \cdots +59 = 320$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ, $a_n = a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$p$ তম পদ, $a+(p-1)d = p^2$ ........ (i)

$q$ তম পদ, $a+(q-1)d = q^2$ ........ (ii)

(i) নং হতে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$\{a+(p-1)d\} - \{a+(q-1)d\} = p^2-q^2$

বা, $(p-1-q+1)d = p^2-q^2$

বা, $(p-q)d = (p+q)(p-q)$

উভয়পক্ষকে $(p-q)$ দ্বারা ভাগ করে পাই, (যেহেতু $p \neq q$)

$d = p+q$ ........ (iii)

$d$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$a+(p-1)(p+q) = p^2$

বা, $a = p^2-(p-1)(p+q)$

বা, $a = p^2-(p^2+pq-p-q)$

বা, $a = p^2-p^2-pq+p+q$

$\therefore a = p+q-pq$ ........ (iv)

এখন, সমান্তর ধারাটির প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি,

$S_{p+q} = \dfrac{p+q}{2}\{2a+(p+q-1)d\}$

(iii) ও (iv) নং হতে $a$ ও $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$2a+(p+q-1)d = 2(p+q-pq)+(p+q-1)(p+q)$

$= 2p+2q-2pq+(p+q)^2-(p+q)$

$= 2p+2q-2pq+p^2+2pq+q^2-p-q$

$= p+q+p^2+q^2$

সুতরাং,

$S_{p+q} = \dfrac{p+q}{2}(p^2+q^2+p+q)$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি $\dfrac{(p+q)(p^2+q^2+p+q)}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$

প্রশ্নমতে,

৩য় পদ, $ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ........ (i)

৮ম পদ, $ar^7 = \dfrac{1}{27}$ ........ (ii)

(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^7}{ar^2} = \dfrac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{\sqrt3}}$

বা, $r^5 = \dfrac{\sqrt3}{27}$

বা, $r^5 = \dfrac{3^{\frac{1}{2}}}{3^3}$

বা, $r^5 = 3^{\frac{1}{2}-3}$

বা, $r^5 = 3^{-\frac{5}{2}}$

বা, $r^5 = \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^5$

$\therefore r = 3^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

$r$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$a \times \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 3^{-\frac{1}{2}}$

বা, $a \times 3^{-1} = 3^{-\frac{1}{2}}$

বা, $a = 3^{-\frac{1}{2}+1}$

বা, $a = 3^{\frac{1}{2}}$

$\therefore a = \sqrt3$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির,

২য় পদ $= ar = \sqrt3 \times \dfrac{1}{\sqrt3} = 1$

৩য় পদ $= ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$

৪র্থ পদ $= ar^3 = \dfrac{1}{3}$

৫ম পদ $= ar^4 = \dfrac{1}{3\sqrt3}$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি:

$\sqrt3+1+\dfrac{1}{\sqrt3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\sqrt3}+ \cdots \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next