সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫৫

৫৫ একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং ৮ম পদ $\dfrac{1}{27}$, আবার একটি সমান্তর ধারার প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $155$ এবং প্রথম $20$টি পদের সমষ্টি $610$।

• (ক) $1^2+2^2+3^2+ \cdots \cdots \cdots + 20^2=$ কত?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটির $10$তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $13$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি,

$1^2+2^2+3^2+ \cdots +n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

এখানে $n=20$ বসিয়ে পাই,

$1^2+2^2+3^2+ \cdots +20^2 = \dfrac{20(20+1)(2\times 20+1)}{6}$

$= \dfrac{20 \times 21 \times 41}{6}$

$= \dfrac{17220}{6}$

$= 2870$

সুতরাং, $1^2+2^2+3^2+ \cdots +20^2 = 2870$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$

প্রশ্নমতে,

৩য় পদ, $ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ........ (i)

৮ম পদ, $ar^7 = \dfrac{1}{27}$ ........ (ii)

(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^7}{ar^2} = \dfrac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{\sqrt3}}$

বা, $r^5 = \dfrac{\sqrt3}{27}$

বা, $r^5 = \dfrac{3^{\frac{1}{2}}}{3^3}$

বা, $r^5 = 3^{\frac{1}{2}-3}$

বা, $r^5 = 3^{-\frac{5}{2}}$

বা, $r^5 = \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^5$

$\therefore r = 3^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

$r$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$a \times \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 3^{-\frac{1}{2}}$

বা, $a \times 3^{-1} = 3^{-\frac{1}{2}}$

বা, $a = 3^{-\frac{1}{2}+1}$

বা, $a = 3^{\frac{1}{2}}$

$\therefore a = \sqrt3$

এখন, গুণোত্তর ধারাটির $10$তম পদ,

$= ar^{10-1} = ar^9$

$= 3^{\frac{1}{2}} \times \left(3^{-\frac{1}{2}}\right)^9$

$= 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{9}{2}}$

$= 3^{\frac{1}{2}-\frac{9}{2}}$

$= 3^{-4}$

$= \dfrac{1}{81}$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির $10$তম পদ $\dfrac{1}{81}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

প্রথম $10$ পদের সমষ্টি, $S_{10} = 155$

বা, $\dfrac{10}{2}\{2a+(10-1)d\} = 155$

বা, $5(2a+9d) = 155$

বা, $2a+9d = 31$ ........ (i)

এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি, $S_{20} = 610$

বা, $\dfrac{20}{2}\{2a+(20-1)d\} = 610$

বা, $10(2a+19d) = 610$

বা, $2a+19d = 61$ ........ (ii)

(ii) নং হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(2a+19d) - (2a+9d) = 61 - 31$

বা, $10d = 30$

$\therefore d = 3$

$d$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$2a+9\times 3 = 31$

বা, $2a+27 = 31$

বা, $2a = 4$

$\therefore a = 2$

এখন, সমান্তর ধারাটির প্রথম $13$ পদের সমষ্টি,

$S_{13} = \dfrac{13}{2}\{2a+(13-1)d\}$

$= \dfrac{13}{2}\{2\times 2+12\times 3\}$

$= \dfrac{13}{2}(4+36)$

$= \dfrac{13}{2}\times 40$

$= 13\times 20$

$= 260$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির প্রথম $13$টি পদের সমষ্টি $260$। Answer

Previous See All Next