ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৩

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = \sin A$ এবং $R = \tan A$

বামপক্ষ,

$= \frac{1}{P^2} - \frac{1}{R^2}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{(\sin A)^2} - \frac{1}{(\tan A)^2}$

$= \frac{1}{\sin^2 A} - \frac{1}{\tan^2 A}$

আমরা জানি, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$

$= \frac{1}{\sin^2 A} - \frac{1}{\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}$

$= \frac{1}{\sin^2 A} - \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{1 - \cos^2 A}{\sin^2 A}$

যেহেতু, $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$

$= \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A}$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{1}{P^2} - \frac{1}{R^2} = 1$ Shown

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = \sin A$, $Q = \cos A$ এবং $R = \tan A$

বামপক্ষ,

$= \sqrt{\frac{1-P}{1+P}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}}$

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি $(1 - \sin A)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \sqrt{\frac{(1 - \sin A)(1 - \sin A)}{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}}$

$= \sqrt{\frac{(1 - \sin A)^2}{1 - \sin^2 A}}$

যেহেতু, $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$

$= \sqrt{\frac{(1 - \sin A)^2}{\cos^2 A}}$

$= \frac{1 - \sin A}{\cos A}$

$= \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A}$

আবার মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{Q} - R$     [যেহেতু $Q = \cos A$ এবং $\frac{\sin A}{\cos A} = \tan A = R$]

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sqrt{\frac{1-P}{1+P}} =\frac{1}{Q}-R$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P + Q = 1$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\sin A + \cos A = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(\sin A + \cos A)^2 = 1^2$

বা, $\sin^2 A + \cos^2 A + 2\sin A \cos A = 1$

আমরা জানি, $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

বা, $1 + 2\sin A \cos A = 1$

বা, $2\sin A \cos A = 1 - 1$

বা, $2\sin A \cos A = 0$

বা, $\sin A \cos A = 0$

হয়,

$\sin A = 0$

বা, $\sin A = \sin 0^\circ$

$\therefore A = 0^\circ$

অথবা,

$\cos A = 0$

বা, $\cos A = \cos 90^\circ$

$\therefore A = 90^\circ$

শর্ত দেওয়া আছে, $0^\circ \le A \le 90^\circ$। এখানে $A = 0^\circ$ এবং $A = 90^\circ$ উভয় মানই শর্ত পূরণ করে এবং প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে (যেমন: $\sin 0^\circ + \cos 0^\circ = 0 + 1 = 1$ এবং $\sin 90^\circ + \cos 90^\circ = 1 + 0 = 1$)।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $A = 0^\circ, 90^\circ$। Answer