ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৪

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{5}{6}$

প্রদত্ত রাশি $= \cos^4 \theta - \sin^4 \theta$

$= (\cos^2 \theta)^2 - (\sin^2 \theta)^2$

$= (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

মান বসিয়ে পাই,

$= 1 \times \frac{5}{6}$

$= \frac{5}{6}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{5}{6}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x = \frac{p}{\sec \theta} = p \cos \theta$

$y = \frac{q}{{\rm cosec}\ \theta} = q \sin \theta$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$x + y = \sqrt{p^2 + q^2 - c^2}$

$x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $p \cos \theta + q \sin \theta = \sqrt{p^2 + q^2 - c^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(p \cos \theta + q \sin \theta)^2 = p^2 + q^2 - c^2$

বা, $p^2 \cos^2 \theta + q^2 \sin^2 \theta + 2pq \sin \theta \cos \theta = p^2 + q^2 - c^2$

$c^2$ কে বামপাশে এবং বাকি পদগুলোকে ডানপাশে নিয়ে পাই,

বা, $c^2 = p^2 + q^2 - (p^2 \cos^2 \theta + q^2 \sin^2 \theta + 2pq \sin \theta \cos \theta)$

বা, $c^2 = p^2 - p^2 \cos^2 \theta + q^2 - q^2 \sin^2 \theta - 2pq \sin \theta \cos \theta$

বা, $c^2 = p^2(1 - \cos^2 \theta) + q^2(1 - \sin^2 \theta) - 2pq \sin \theta \cos \theta$

আমরা জানি, $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ এবং $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

বা, $c^2 = p^2 \sin^2 \theta + q^2 \cos^2 \theta - 2pq \sin \theta \cos \theta$

বা, $c^2 = (p \sin \theta)^2 - 2(p \sin \theta)(q \cos \theta) + (q \cos \theta)^2$

বা, $c^2 = (p \sin \theta - q \cos \theta)^2$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

বা, $p \sin \theta - q \cos \theta = \pm c$ ........ (i)

এখন, বামপক্ষ $= x \tan \theta - y \cot \theta$

$x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= (p \cos \theta) \tan \theta - (q \sin \theta) \cot \theta$

$= p \cos \theta \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) - q \sin \theta \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)$

$= p \sin \theta - q \cos \theta$

$= \pm c$     [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $x \tan \theta - y \cot \theta = \pm c$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

'খ' হতে পাই,

$\frac{x}{p} = \cos \theta$ এবং $\frac{y}{q} = \sin \theta$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\left( \frac{y}{q} \right)^2 - \left( \frac{x}{p} \right)^2 = \frac{x}{p}$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \cos \theta$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

বা, $(1 - \cos^2 \theta) - \cos^2 \theta = \cos \theta$

বা, $1 - 2\cos^2 \theta = \cos \theta$

বা, $2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $2\cos^2 \theta + 2\cos \theta - \cos \theta - 1 = 0$

বা, $2\cos \theta (\cos \theta + 1) - 1 (\cos \theta + 1) = 0$

বা, $(\cos \theta + 1)(2\cos \theta - 1) = 0$

হয়,

$\cos \theta + 1 = 0$

বা, $\cos \theta = -1$

বা, $\cos \theta = \cos \pi$

$\therefore \theta = \pi$

অথবা,

$2\cos \theta - 1 = 0$

বা, $2\cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos \frac{\pi}{3}$

$\therefore \theta = \frac{\pi}{3}$

দেওয়া আছে, $0 \le \theta \le \pi$

এখানে $\theta = \frac{\pi}{3}$ এবং $\theta = \pi$ উভয় মানই শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi$। Answer