ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫১

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = \sec \theta - \tan \theta$

প্রশ্নমতে,

$M = 0$

বা, $\sec \theta - \tan \theta = 0$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

বা, $\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 0$

বা, $\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} = 0$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $1 - \sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \sin 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 90^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = \sec \theta - \tan \theta$

$N = \sec \theta + \tan \theta$

প্রশ্নমতে,

$\frac{M}{N} = \left( \sqrt{2} - 1 \right)^2$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\sec \theta - \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta} = (\sqrt{2} - 1)^2$

বা, $\frac{\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + (1)^2$

বা, $\frac{\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}} = 2 - 2\sqrt{2} + 1$

বা, $\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta} = 3 - 2\sqrt{2}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{(1 - \sin \theta) - (1 + \sin \theta)} = \frac{(3 - 2\sqrt{2}) + 1}{(3 - 2\sqrt{2}) - 1}$

বা, $\frac{1 - \sin \theta + 1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta - 1 - \sin \theta} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2 - 2\sqrt{2}}$

বা, $\frac{2}{-2\sin \theta} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{2(1 - \sqrt{2})}$

বা, $-\frac{1}{\sin \theta} = \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

ডানপাশের লব থেকে $\sqrt{2}$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $-\frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{-(\sqrt{2} - 1)}$

বা, $-\frac{1}{\sin \theta} = -\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta} = \sqrt{2}$

বিপরীতকরণ করে পাই,

বা, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin \theta = \sin 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

শর্তমতে, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 45^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$R = 5 {\rm cosec}^2\ A - 7 \cot A \cdot {\rm cosec}\ A - 2$

প্রশ্নমতে,

$R = 0$

বা, $5 {\rm cosec}^2\ A - 7 \cot A \cdot {\rm cosec}\ A - 2 = 0$

$\sin$ ও $\cos$-এ পরিবর্তন করে পাই,

বা, $5 \left( \frac{1}{\sin A} \right)^2 - 7 \left( \frac{\cos A}{\sin A} \right) \left( \frac{1}{\sin A} \right) - 2 = 0$

বা, $\frac{5}{\sin^2 A} - \frac{7\cos A}{\sin^2 A} - 2 = 0$

লসাগু করে পাই,

বা, $\frac{5 - 7\cos A - 2\sin^2 A}{\sin^2 A} = 0$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $5 - 7\cos A - 2\sin^2 A = 0$

আমরা জানি, $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

বা, $5 - 7\cos A - 2(1 - \cos^2 A) = 0$

বা, $5 - 7\cos A - 2 + 2\cos^2 A = 0$

বা, $2\cos^2 A - 7\cos A + 3 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $2\cos^2 A - 6\cos A - \cos A + 3 = 0$

বা, $2\cos A (\cos A - 3) - 1 (\cos A - 3) = 0$

বা, $(\cos A - 3)(2\cos A - 1) = 0$

হয়,

$\cos A - 3 = 0$

বা, $\cos A = 3$

কিন্তু $\cos A$ এর মান $1$ অপেক্ষা বড় হতে পারে না, তাই $\cos A = 3$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$2\cos A - 1 = 0$

বা, $2\cos A = 1$

বা, $\cos A = \frac{1}{2}$

বা, $\cos A = \cos 60^\circ$

$\therefore A = 60^\circ$

শর্তমতে, $A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 60^\circ$। Answer