ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৫

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x = \sin \theta$ এবং $y = \cos \theta$

প্রদত্ত শর্তমতে,

$\frac{1}{x} + \frac{y}{x} = a$

বা, $\frac{1 + y}{x} = a$

আমরা জানি,

$x^2 + y^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $1 - y^2 = x^2$

বা, $(1 + y)(1 - y) = x^2$

বা, $\frac{1 - y}{x} = \frac{x}{1 + y}$

এখন, আমরা জানি যে,

$\left(\frac{1}{x} + \frac{y}{x}\right) \left(\frac{1}{x} - \frac{y}{x}\right) = \frac{1 - y^2}{x^2}$

$= \frac{x^2}{x^2} = 1$     [যেহেতু $1 - y^2 = x^2$]

মান বসিয়ে পাই,

বা, $a \cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{y}{x}\right) = 1$

$\therefore \frac{1}{x} - \frac{y}{x} = \frac{1}{a}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{1}{a}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{y - x}{y + x} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

$x = \sin \theta$ এবং $y = \cos \theta$ বসিয়ে পাই,

$\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

আড়গুণন করে পাই,

$(\cos \theta - \sin \theta)(\sqrt{3} + 1) = (\cos \theta + \sin \theta)(\sqrt{3} - 1)$

বা, $\sqrt{3}\cos \theta + \cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta - \sin \theta = \sqrt{3}\cos \theta - \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta - \sin \theta$

উভয়পক্ষ থেকে অভিন্ন পদ বাদ দিয়ে পাই,

বা, $\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta = -\cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$

বা, $\cos \theta + \cos \theta = \sqrt{3}\sin \theta + \sqrt{3}\sin \theta$

বা, $2\cos \theta = 2\sqrt{3}\sin \theta$

বা, $\cos \theta = \sqrt{3}\sin \theta$

বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta = \tan 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

এখন, বামপক্ষ,

$= \cos 2\theta = \cos (2 \times 30^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

ডনপক্ষ,

$= \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - \tan^2 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ}$

$= \frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \dfrac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$

যেহেতু, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

বামপক্ষ,

$= \dfrac{\frac{x}{y} + \frac{1}{y} - 1}{\frac{x}{y} - \frac{1}{y} + 1}$

$x = \sin \theta$ এবং $y = \cos \theta$ বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{1}{\cos \theta} + 1}$

$= \frac{\tan \theta + \sec \theta - 1}{\tan \theta - \sec \theta + 1}$

আমরা জানি, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$, সুতরাং $1 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$:

$= \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{1 - \sec \theta + \tan \theta}$

$= \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta)}{1 - \sec \theta + \tan \theta}$

$= \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - (\sec \theta - \tan \theta)]}{1 - \sec \theta + \tan \theta}$

$= \frac{(\tan \theta + \sec \theta) (1 - \sec \theta + \tan \theta)}{1 - \sec \theta + \tan \theta}$

$= \tan \theta + \sec \theta$

$\sin$ ও $\cos$-এ রূপান্তর করে পাই,

$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$

$= \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}$

$= \frac{1 + x}{y}$     [মান বসিয়ে]

লব ও হরকে $(1 - x)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \frac{(1 + x)(1 - x)}{y(1 - x)}$

$= \frac{1 - x^2}{y(1 - x)}$

যেহেতু $1 - x^2 = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta = y^2$:

$= \frac{y^2}{y(1 - x)}$

$= \frac{y}{1 - x}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\dfrac{\frac{x}{y} + \frac{1}{y} - 1}{\frac{x}{y} - \frac{1}{y} + 1} = \frac{y}{1-x}$ Shown