ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৪

(ক) নং এর সমাধান

১ম চিত্র ($\triangle ABC$) হতে পাই,

লম্ব $AB = \sqrt{1-x}$

অতিভুজ $AC = \sqrt{1+x}$

এবং $\angle C = \theta$

আমরা জানি, $\sin \theta =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ}

বা, $\sin \theta = \frac{AB}{AC}$

বা, $\sin \theta = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$

প্রশ্নমতে, $\theta = 90^\circ$ হলে,

$\sin 90^\circ = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$

বা, $1 = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $1 = \frac{1-x}{1+x}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $1+x = 1-x$

বা, $x + x = 1 - 1$

বা, $2x = 0$

$\therefore x = 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 0$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

১ম চিত্র ($\triangle ABC$) হতে পাই,

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

বা, $BC^2 = (\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2$

বা, $BC^2 = (1+x) - (1-x)$

বা, $BC^2 = 1 + x - 1 + x$

বা, $BC^2 = 2x$

$\therefore BC = \sqrt{2x}$

এখন, $\angle C = \theta$ এর সাপেক্ষে,

$\sec \theta =$ ^{অতিভুজ}⁄_ভূমি $= \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{2x}}$

$\tan \theta =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2x}}$

বামপক্ষ,

$= \frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta - \tan \theta}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{2x}} + \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2x}}}{\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{2x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2x}}}$

$= \dfrac{\frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{2x}}}{\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{2x}}}$

$= \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}$

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি $(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \frac{(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$

$= \frac{(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})^2}{(\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2}$

$= \frac{(1+x) + (1-x) + 2\sqrt{(1+x)(1-x)}}{(1+x) - (1-x)}$

$= \frac{2 + 2\sqrt{1-x^2}}{1 + x - 1 + x}$

$= \frac{2(1 + \sqrt{1-x^2})}{2x}$

$= \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

২য় চিত্র ($\triangle PQR$) হতে পাই,

$\angle Q = 90^\circ$ (সমকোণ)

অতিভুজ $PR = 2$

ভূমি $QR = \sqrt{3}$

লম্ব $PQ = m + 2n$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$PQ = \sqrt{PR^2 - QR^2}$

বা, $PQ = \sqrt{(2)^2 - (\sqrt{3})^2}$

বা, $PQ = \sqrt{4 - 3}$

বা, $PQ = \sqrt{1}$

$\therefore PQ = 1$

শর্তমতে,

$m + 2n = 1$ ........ (i)

আবার, $\angle R$ এর সাপেক্ষে,

$\sin R =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{PQ}{PR}$

বা, $\sin (2m - n) = \frac{1}{2}$

বা, $\sin (2m - n) = \sin 30^\circ$

$\therefore 2m - n = 30$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$4m - 2n = 60$ ........ (iii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (iii) যোগ করে পাই,

$(m + 2n) + (4m - 2n) = 1 + 60$

বা, $5m = 61$

$\therefore m = \frac{61}{5}$

$m$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{61}{5} + 2n = 1$

বা, $2n = 1 - \frac{61}{5}$

বা, $2n = \frac{5 - 61}{5}$

বা, $2n = -\frac{56}{5}$

বা, $n = -\frac{56}{5 \times 2}$

$\therefore n = -\frac{28}{5}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $m = \frac{61}{5}$ এবং $n = -\frac{28}{5}$। Answer