ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৩

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$

$AB = 33$ একক এবং $AC = 545$ একক।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

বা, $BC^2 = AC^2 - AB^2$

বা, $BC^2 = (545)^2 - (33)^2$

বা, $BC^2 = 297025 - 1089$

বা, $BC^2 = 295936$

$\therefore BC = \sqrt{295936} = 544$ একক

প্রদত্ত রাশি $= \cot (90^\circ - C)$

আমরা জানি, $\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$

সুতরাং, $\cot (90^\circ - C) = \tan C$

চিত্র হতে পাই, $\angle C$ এর সাপেক্ষে,

লম্ব $= AB = 33$

ভূমি $= BC = 544$

অতএব, $\tan C =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{AB}{BC} = \frac{33}{544}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{33}{544}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টির সূত্রানুসারে,

$\angle A + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\therefore C = 90^\circ - A$ ........ (i)

দেওয়া আছে,

$B = 2x + y$

যেহেতু $\angle B = 90^\circ$, তাই

$2x + y = 90^\circ$

বা, $y = 90^\circ - 2x$ ........ (ii)

আবার দেওয়া আছে,

$A = y - x$

সমীকরণ (ii) হতে $y$-এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $A = 90^\circ - 2x - x$

বা, $A = 90^\circ - 3x$

বা, $3x = 90^\circ - A$

সমীকরণ (i) হতে মান বসিয়ে পাই,

$\therefore 3x = C$

এখন, $\sin 3x = \sin C$

উদ্দীপকের চিত্র হতে, $\angle C$ এর সাপেক্ষে,

লম্ব $= AB$ এবং অতিভুজ $= AC$

অতএব, $\sin C =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{AB}{AC}$

সুতরাং, $\sin 3x$ কে ত্রিভুজের বাহুর অনুপাতে প্রকাশ করলে হবে $\frac{AB}{AC}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের সমকোণী $\triangle ABC$ হতে পাই,

$\angle C$ এর সাপেক্ষে লম্ব $= AB$, ভূমি $= BC$ এবং অতিভুজ $= AC$

অতএব,

$\frac{BC}{AC} =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \cos C$

$\frac{AB}{AC} =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \sin C$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$10\left( \frac{BC}{AC} \right)^2 - 7\left( \frac{AB}{AC} \right) - 4 = 0$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $10 \cos^2 C - 7 \sin C - 4 = 0$

আমরা জানি, $\cos^2 C = 1 - \sin^2 C$

বা, $10 (1 - \sin^2 C) - 7 \sin C - 4 = 0$

বা, $10 - 10 \sin^2 C - 7 \sin C - 4 = 0$

বা, $-10 \sin^2 C - 7 \sin C + 6 = 0$

উভয়পক্ষকে $(-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $10 \sin^2 C + 7 \sin C - 6 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $10 \sin^2 C + 12 \sin C - 5 \sin C - 6 = 0$

বা, $2 \sin C (5 \sin C + 6) - 1 (5 \sin C + 6) = 0$

বা, $(5 \sin C + 6)(2 \sin C - 1) = 0$

হয়,

$5 \sin C + 6 = 0$

বা, $5 \sin C = -6$

বা, $\sin C = -\frac{6}{5}$

যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজে $\angle C$ একটি সূক্ষ্মকোণ, তাই $\sin C$ এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। তাছাড়া, $\sin \theta$ এর মান $-1$ অপেক্ষা ছোট হতে পারে না। সুতরাং, এটি গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$2 \sin C - 1 = 0$

বা, $2 \sin C = 1$

বা, $\sin C = \frac{1}{2}$

বা, $\sin C = \sin 30^\circ$

$\therefore \angle C = 30^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\angle C = 30^\circ$। Answer