ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬১

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta = 0$

বা, $\sqrt{3} \sin \theta = \cos \theta$

উভয়পক্ষকে $\cos \theta$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\frac{\sqrt{3} \sin \theta}{\cos \theta} = 1$

বা, $\sqrt{3} \tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta = \tan 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 30^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

${\rm cosec}\ (90^\circ - \theta) = \frac{5}{3}$

আমরা জানি,

${\rm cosec}\ (90^\circ - \theta) = \sec \theta$

$\therefore \sec \theta = \frac{5}{3}$

এখন, $\tan \theta$ এর মান নির্ণয় করি:

$\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1}$

বা, $\tan \theta = \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1}$

বা, $\tan \theta = \sqrt{\frac{25}{9} - 1}$

বা, $\tan \theta = \sqrt{\frac{25 - 9}{9}}$

বা, $\tan \theta = \sqrt{\frac{16}{9}}$

$\therefore \tan \theta = \frac{4}{3}$

বামপক্ষ,

$= \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2$

$= \frac{25}{9} - \frac{16}{9}$

$= \frac{25 - 16}{9}$

$= \frac{9}{9}$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

'খ' হতে পাই,

$\sec \theta = \frac{5}{3}$

অতএব, $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{3}{5}$

আমরা জানি,

$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{9}{25}}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}}$

$\therefore \sin \theta = \frac{4}{5}$ Answer

এখন, প্রমাণ করতে হবে যে, ${\rm cosec}\ \theta - \cot \theta = \frac{1}{2}$

আমরা জানি,

${\rm cosec}\ \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{4}$

$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

বামপক্ষ,

$= {\rm cosec}\ \theta - \cot \theta$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{5}{4} - \frac{3}{4}$

$= \frac{5 - 3}{4}$

$= \frac{2}{4}$

$= \frac{1}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, ${\rm cosec}\ \theta - \cot \theta = \frac{1}{2}$ Shown