ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬০

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার:

$\angle A = 90^\circ$ (সমকোণ)

$\angle B = \theta$

$AB = a$ এবং $AC = a$

উপরিউক্ত তথ্যগুলো নিচে চিত্রের সাহায্যে প্রদর্শন করা হলো:

---

(খ) নং এর সমাধান

'ক' এর চিত্র হতে পাই,

$\triangle ABC$-এ $\angle B = \theta$ এর সাপেক্ষে,

লম্ব $AC = a$ এবং ভূমি $AB = a$

আমরা জানি,

$\tan \theta =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{AC}{AB}$

বা, $\tan \theta = \frac{a}{a}$

বা, $\tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{1 + \cos \theta}{\tan \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1 + \cos 45^\circ}{\tan 45^\circ \sqrt{1 - \sin^2 45^\circ}}$

আমরা জানি, $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\tan 45^\circ = 1$

$= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}}$

$= \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{2}}}$

$= \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$= \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$= \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{1}$

$= \sqrt{2} + 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\sqrt{2} + 1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

'খ' হতে পাই,

$\theta = 45^\circ$

বামপক্ষ,

$= \frac{\cot \theta + {\rm cosec}\ \theta - \tan \theta}{\cot \theta - {\rm cosec}\ \theta + 1}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\cot 45^\circ + {\rm cosec}\ 45^\circ - \tan 45^\circ}{\cot 45^\circ - {\rm cosec}\ 45^\circ + 1}$

আমরা জানি, $\cot 45^\circ = 1$, ${\rm cosec}\ 45^\circ = \sqrt{2}$ এবং $\tan 45^\circ = 1$

$= \frac{1 + \sqrt{2} - 1}{1 - \sqrt{2} + 1}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$

লব ও হরকে $(2 + \sqrt{2})$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \dfrac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}$

$= \dfrac{2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{(2)^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \dfrac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2}$

$= \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2}$

$= \sqrt{2} + 1$

$= 1 + \sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{\cot \theta + {\rm cosec}\ \theta - \tan \theta}{\cot \theta - {\rm cosec}\ \theta + 1} = 1 + \sqrt2$ Shown