ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৯

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\triangle PQR$-এ $\angle Q = 90^\circ$ (সমকোণ)

এবং $\tan P = 1$

আমরা জানি, $\tan P =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{QR}{PQ}$

বা, $\frac{QR}{PQ} = \frac{1}{1}$

ধরি, লম্ব $QR = 1$ একক এবং ভূমি $PQ = 1$ একক।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$PR^2 = PQ^2 + QR^2$

বা, $PR^2 = (1)^2 + (1)^2$

বা, $PR^2 = 1 + 1$

বা, $PR^2 = 2$

$\therefore PR = \sqrt{2}$ একক

সুতরাং, $PR$ এর দৈর্ঘ্য $\sqrt{2}$ একক। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

'ক' হতে পাই,

$PQ = 1$, $QR = 1$ এবং অতিভুজ $PR = \sqrt{2}$

এখানে,

$\angle P$ এর সাপেক্ষে, ভূমি $= PQ = 1$, লম্ব $= QR = 1$, অতিভুজ $= PR = \sqrt{2}$

$\sec P =$ ^{অতিভুজ}⁄_ভূমি $= \frac{PR}{PQ} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$

$\sin P =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{QR}{PR} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

আবার, $\angle R$ এর সাপেক্ষে, ভূমি $= QR = 1$, লম্ব $= PQ = 1$

$\cot R =$ ^ভূমি⁄_লম্ব $= \frac{QR}{PQ} = \frac{1}{1} = 1$

প্রদত্ত রাশি $= \sec^2 P + \cot^2 R + \sin^2 P$

মান বসিয়ে পাই,

$= (\sqrt{2})^2 + (1)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

$= 2 + 1 + \frac{1}{2}$

$= 3 + \frac{1}{2}$

$= \frac{6 + 1}{2}$

$= \frac{7}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{7}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan P = 1$

বা, $\tan P = \tan 45^\circ$

$\therefore P = 45^\circ$

অতএব,

$\sin P = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan P = \tan 45^\circ = 1$

এবং $\sin 2P = \sin (2 \times 45^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

বামপক্ষ,

$= \frac{1 - \sin^2 P}{1 + \sin^2 P} + \frac{2 \tan^2 P}{3 \sin^2 2P}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} + \frac{2 (1)^2}{3 (1)^2}$

$= \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2 \times 1}{3 \times 1}$

$= \frac{\frac{2-1}{2}}{\frac{2+1}{2}} + \frac{2}{3}$

$= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

$= \frac{1 + 2}{3}$

$= \frac{3}{3}$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{1 - \sin^2 P}{1 + \sin^2 P} + \frac{2 \tan^2 P}{3 \sin^2 2P} = 1$ Proved