ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৮

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি $= \cos 45^\circ \cdot \cot^2 60^\circ \cdot {\rm cosec}^2\ 30^\circ$

আমরা জানি,

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

${\rm cosec}\ 30^\circ = 2$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \times (2)^2$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{3} \times 4$

$= \frac{4}{3\sqrt{2}}$

$= \frac{2 \times 2}{3\sqrt{2}}$

$= \frac{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$

$= \frac{2\sqrt{2}}{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{2\sqrt{2}}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$2 \cos (P-Q) = \sqrt{3}$

বা, $\cos (P-Q) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos (P-Q) = \cos 30^\circ$

$\therefore P - Q = 30^\circ$ ........ (i)

আবার,

$2 \sin (P+Q) = \sqrt{3}$

বা, $\sin (P+Q) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin (P+Q) = \sin 60^\circ$

$\therefore P + Q = 60^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(P - Q) + (P + Q) = 30^\circ + 60^\circ$

বা, $2P = 90^\circ$

বা, $P = \frac{90^\circ}{2}$

$\therefore P = 45^\circ$

$P$ এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$45^\circ + Q = 60^\circ$

বা, $Q = 60^\circ - 45^\circ$

$\therefore Q = 15^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $P = 45^\circ$ এবং $Q = 15^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\theta = \frac{1}{2}(P+Q)$

'খ' হতে পাই,

$P + Q = 60^\circ$

মান বসিয়ে পাই,

$\theta = \frac{1}{2} \times 60^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

এখন, বামপক্ষ,

$= 3 \cos \theta$

$= 3 \cos 30^\circ$

$= 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

ডানপক্ষ,

$= 4 \cos^3 \theta - \cos 3\theta$

$= 4 \cos^3 (30^\circ) - \cos (3 \times 30^\circ)$

$= 4 (\cos 30^\circ)^3 - \cos 90^\circ$

আমরা জানি, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\cos 90^\circ = 0$

$= 4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 0$

$= 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$= \frac{12\sqrt{3}}{8}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

যেহেতু, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $3 \cos \theta = 4 \cos^3 \theta - \cos 3\theta$ Shown