ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪

৪ $\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle C = 90^\circ$ এবং $\angle A =\theta$

• (ক) প্রমাণ কর যে, $\sin \theta + \cos \theta > 1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\cot B}{1 -\cot A} + \frac{\cot A}{1 -\cot B} = \sec A \sec B +1$
• (গ) যদি $\tan B = \frac{b}{a}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{a^2 \sin \theta - b^2 \cos \theta}{a^2 \sin \theta + b^2 \cos \theta} = \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle C = 90^\circ$ এবং $\angle A = \theta$

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

সুতরাং, $\triangle ABC$-এ লম্ব ও ভূমির যোগফল অতিভুজ অপেক্ষা বড় হবে।

অর্থাৎ, $BC + AC > AB$

উভয়পক্ষকে অতিভুজ $AB$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{BC}{AB} + \frac{AC}{AB} > \frac{AB}{AB}$

বা, ^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$+$^ভূমি⁄_{অতিভুজ}$ > 1$    [যেহেতু $\angle A$ এর সাপেক্ষে লম্ব $BC$ এবং ভূমি $AC$]

বা, $\sin A + \cos A > 1$

যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে $\angle A = \theta$, তাই মান বসিয়ে পাই,

$\therefore \sin \theta + \cos \theta > 1$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $\triangle ABC$-এ $\angle C = 90^\circ$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

তাহলে, $\angle A + \angle B = 90^\circ$

$\therefore B = 90^\circ - A$

এখন, $\cot B = \cot(90^\circ - A) = \tan A$

এবং $\sec B = \sec(90^\circ - A) = {\rm cosec}\,A$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{\cot B}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \cot B}$

$\cot B = \tan A$ বসিয়ে পাই,

$= \frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$

আমরা জানি, $\cot A = \frac{1}{\tan A}$

$= \frac{\tan A}{1 - \frac{1}{\tan A}} + \frac{\frac{1}{\tan A}}{1 - \tan A}$

$= \frac{\tan A}{\frac{\tan A - 1}{\tan A}} + \frac{1}{\tan A(1 - \tan A)}$

$= \frac{\tan^2 A}{\tan A - 1} - \frac{1}{\tan A(\tan A - 1)}$    [২য় ভগ্নাংশের হরে মাইনাস কমন নিয়ে]

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{\tan^3 A - 1}{\tan A(\tan A - 1)}$

$a^3 - b^3$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(\tan A - 1)(\tan^2 A + \tan A + 1)}{\tan A(\tan A - 1)}$

$= \frac{\tan^2 A + \tan A + 1}{\tan A}$

ভগ্নাংশটি আলাদা করে লিখলে,

$= \frac{\tan^2 A}{\tan A} + \frac{\tan A}{\tan A} + \frac{1}{\tan A}$

$= \tan A + 1 + \cot A$

$= \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A} + 1$

$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A} + 1$

যেহেতু $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,

$= \frac{1}{\sin A \cos A} + 1$

$= \frac{1}{\cos A} \cdot \frac{1}{\sin A} + 1$

$= \sec A \cdot {\rm cosec}\,A + 1$

আগেই পেয়েছি, ${\rm cosec}\,A = \sec B$, মান বসিয়ে পাই,

$= \sec A \sec B + 1$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \sec A \sec B + 1$

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{\cot B}{1 -\cot A} + \frac{\cot A}{1 -\cot B} = \sec A \sec B +1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan B = \frac{b}{a}$

যেহেতু $\triangle ABC$-এ $\angle C = 90^\circ$ এবং $\angle A = \theta$, তাই $B = 90^\circ - \theta$

মান বসিয়ে পাই,

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{b}{a}$

বা, $\cot \theta = \frac{b}{a}$

$\therefore \tan \theta = \frac{a}{b}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{a^2 \sin \theta - b^2 \cos \theta}{a^2 \sin \theta + b^2 \cos \theta}$

লব ও হর উভয়কে $\cos \theta$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$= \frac{a^2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - b^2 \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}{a^2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + b^2 \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$

$= \frac{a^2 \tan \theta - b^2}{a^2 \tan \theta + b^2}$

এখন, $\tan \theta = \frac{a}{b}$ মানটি বসিয়ে পাই,

$= \frac{a^2 \left(\frac{a}{b}\right) - b^2}{a^2 \left(\frac{a}{b}\right) + b^2}$

$= \frac{\frac{a^3}{b} - b^2}{\frac{a^3}{b} + b^2}$

লব ও হরে ল.সা.গু. $b$ নিয়ে পাই,

$= \frac{\frac{a^3 - b^3}{b}}{\frac{a^3 + b^3}{b}}$

$= \frac{a^3 - b^3}{b} \times \frac{b}{a^3 + b^3}$

$= \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}$

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{a^2 \sin \theta - b^2 \cos \theta}{a^2 \sin \theta + b^2 \cos \theta} = \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$ Proved

Previous See All Next