ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩

৩ $w= \tan \theta$, $x= \cot \theta$, $y= \sin \theta$ এবং $z= \cos \theta$

• (ক) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, $\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{x}{1-w} +\frac{w}{1-x} =1 +\frac{1}{yz}$
• (গ) $w^4 -w^2 =1$ হলে, প্রমাণ কর যে, সচিব $y^4 +y^2 =1$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle POM$, যার $\angle PMO = 90^\circ$ এবং $\angle POM = \theta$।

ধরি, $OM = x$, $PM = y$ এবং $OP = r$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle POM$ হতে পাই,

$\sin \theta =$^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$= \frac{PM}{OP} = \frac{y}{r}$

এবং $\cos \theta =$^ভূমি⁄_{অতিভুজ}$= \frac{OM}{OP} = \frac{x}{r}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$

$= \left(\frac{y}{r}\right)^2 + \left(\frac{x}{r}\right)^2$

$= \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2}$

$= \frac{x^2 + y^2}{r^2}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle POM$-এ পাই, $x^2 + y^2 = r^2$

$= \frac{r^2}{r^2}$

$= 1$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 1$

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

অর্থাৎ, জ্যামিতিকভাবে $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$w = \tan \theta$, $x = \cot \theta$, $y = \sin \theta$ এবং সচিব $z = \cos \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{x}{1 - w} + \frac{w}{1 - x}$

$= \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} + \frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta}$

আমরা জানি, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ এবং $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$= \dfrac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1 - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}} + \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}$

$= \dfrac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}} + \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta}}$

$= \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\cos \theta - \sin \theta)} + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta - \cos \theta)}$

২য় ভগ্নাংশের হর থেকে মাইনাস কমন নিয়ে সাজিয়ে পাই,

$= \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\cos \theta - \sin \theta)} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\cos \theta - \sin \theta)}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{\cos^3 \theta - \sin^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta (\cos \theta - \sin \theta)}$

$a^3 - b^3$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos^2 \theta + \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta)}{\sin \theta \cos \theta (\cos \theta - \sin \theta)}$

$= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

যেহেতু $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, তাই মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + 1$

$= 1 + \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

যেহেতু $y = \sin \theta$ এবং সচিব $z = \cos \theta$,

$= 1 + \frac{1}{yz}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 1 + \frac{1}{yz}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{x}{1-w} + \frac{w}{1-x} = 1 + \frac{1}{yz}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$w = \tan \theta$

এবং শর্তমতে, $w^4 - w^2 = 1$

বা, $(\tan \theta)^4 - (\tan \theta)^2 = 1$

বা, $\tan^4 \theta - \tan^2 \theta = 1$

বা, $\tan^4 \theta = 1 + \tan^2 \theta$

আমরা জানি, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

$\therefore \tan^4 \theta = \sec^2 \theta$

এখন, উভয়পক্ষকে সাইন ও কোসাইন অনুপাতে প্রকাশ করি:

$\frac{\sin^4 \theta}{\cos^4 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

বজ্রগুণন করে পাই,

$\sin^4 \theta \cdot \cos^2 \theta = \cos^4 \theta$

উভয়পক্ষকে $\cos^2 \theta$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\sin^4 \theta = \frac{\cos^4 \theta}{\cos^2 \theta}$

বা, $\sin^4 \theta = \cos^2 \theta$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\therefore \sin^4 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

$\sin^4 \theta + \sin^2 \theta = 1$

যেহেতু উদ্দীপক অনুযায়ী $y = \sin \theta$, তাই মান বসিয়ে পাই,

$y^4 + y^2 = 1$

$\therefore y^4 + y^2 = 1$ Proved

Previous See All Next