ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২

২ (i) $\sqrt{3} \tan A = 1$
(ii) $\cot \alpha +\cos \beta =x$ এবং $\cot \alpha -\cos \beta =y$

• (ক) ${\rm cosec}\,\theta =\frac{5}{3}$ হলে, $\sec \theta$ ও $\cot \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) (i) হতে $\frac{{\rm cosec}^2\,A -\sec^2 A}{\sec^2 A +{\rm cosec}^2\,A}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $\alpha = \beta$ হলে, (ii) হতে প্রমাণ কর যে, $x^2-y^2 =4\sqrt{xy}$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

${\rm cosec}\,\theta = \frac{5}{3}$

আমরা জানি,

$\cot^2 \theta = {\rm cosec}^2\,\theta - 1$

বা, $\cot^2 \theta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1$

বা, $\cot^2 \theta = \frac{25}{9} - 1$

বা, $\cot^2 \theta = \frac{25 - 9}{9}$

বা, $\cot^2 \theta = \frac{16}{9}$

বা, $\cot \theta = \sqrt{ \frac{16}{9}}$

$\therefore \cot \theta = \frac{4}{3}$    [ধনাত্মক মান নিয়ে]

আবার, আমরা জানি,

$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$

যেহেতু $\cot \theta = \frac{4}{3}$, তাই $\tan \theta = \frac{3}{4}$

$\therefore \sec^2 \theta = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2$

বা, $\sec^2 \theta = 1 + \frac{9}{16}$

বা, $\sec^2 \theta = \frac{16 + 9}{16}$

বা, $\sec^2 \theta = \frac{25}{16}$

বা, $\sec \theta =\sqrt{ \frac{25}{16}}$

$\therefore \sec \theta = \frac{5}{4}$    [ধনাত্মক মান নিয়ে]

সুতরাং, নির্ণেয় মান: $\sec \theta = \frac{5}{4}$ এবং $\cot \theta = \frac{4}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$\sqrt{3} \tan A = 1$

বা, $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$

তাহলে, $\cot A = \frac{1}{\tan A} = \sqrt{3}$

আমরা জানি,

${\rm cosec}^2\,A = 1 + \cot^2 A$

$= 1 + (\sqrt{3})^2$

$= 1 + 3 = 4$

এবং $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$

$= 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$

$= 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{{\rm cosec}^2\,A - \sec^2 A}{\sec^2 A + {\rm cosec}^2\,A}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{4 - \frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

$= \dfrac{\frac{12 - 4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

$= \dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{16}{3}}$

$= \dfrac{8}{3} \times \frac{3}{16}$

$= \dfrac{8}{16}$

$= \dfrac{1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{1}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$\cot \alpha + \cos \beta = x$ এবং $\cot \alpha - \cos \beta = y$

দেওয়া আছে, $\alpha = \beta$

তাহলে সমীকরণ দুটি দাঁড়ায়:

$\cot \alpha + \cos \alpha = x$ ........ (i)

$\cot \alpha - \cos \alpha = y$ ........ (ii)

বামপক্ষ (L.H.S):

$= x^2 - y^2$

$= (\cot \alpha + \cos \alpha)^2 - (\cot \alpha - \cos \alpha)^2$

বীজগণিতের সূত্র $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ প্রয়োগ করে পাই,

$= 4 \cot \alpha \cos \alpha$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 4\sqrt{xy}$

$= 4\sqrt{(\cot \alpha + \cos \alpha)(\cot \alpha - \cos \alpha)}$

$= 4\sqrt{\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$

আমরা জানি, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$= 4\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha}$

রুটের ভেতর থেকে $\cos^2 \alpha$ কমন নিয়ে পাই,

$= 4\sqrt{\cos^2 \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right)}$

$= 4\sqrt{\cos^2 \alpha ({\rm cosec}^2\,\alpha - 1)}$    [যেহেতু $\frac{1}{\sin^2 \alpha} = {\rm cosec}^2\,\alpha$]

আবার, ${\rm cosec}^2\,\alpha - 1 = \cot^2 \alpha$

$= 4\sqrt{\cos^2 \alpha \cdot \cot^2 \alpha}$

$= 4 \cos \alpha \cot \alpha$

$= 4 \cot \alpha \cos \alpha$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $x^2-y^2 =4\sqrt{xy}$ Proved

Previous See All Next