ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১

১ $X=\tan \theta$, $Y=\cot \theta$ এবং $Z=\sin \theta$

• (ক) $X=\frac{5}{12}$ হলে, $Z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{X}{1-Y} + \frac{Y}{1-X} = X+Y+1$
• (গ) দেখাও যে, $(X+Z)^2 -(X-Z)^2 = 4\sqrt{X^2-Z^2}$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$X = \tan \theta$ এবং $Z = \sin \theta$

প্রশ্নমতে, $X = \frac{5}{12}$

$\therefore \tan \theta = \frac{5}{12}$

আমরা জানি,

$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$

$= 1 + \left(\frac{5}{12} \right)^2$

$= 1 + \frac{25}{144}$

$= \frac{144 + 25}{144}$

$= \frac{169}{144}$

$\therefore \cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{144}{169}$

এখন, আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

বা, $\sin^2 \theta = 1 - \frac{144}{169}$

বা, $\sin^2 \theta = \frac{169 - 144}{169}$

বা, $\sin^2 \theta = \frac{25}{169}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{\frac{25}{169}}$    [ধনাত্মক মান নিয়ে]

$\therefore \sin \theta = \frac{5}{13}$

সুতরাং, $Z$ এর মান $\frac{5}{13}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$X = \tan \theta$ এবং $Y = \cot \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{X}{1-Y} + \frac{Y}{1-X}$

$= \frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta}$

আমরা জানি, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

$= \frac{\tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} + \frac{\frac{1}{\tan \theta}}{1 - \tan \theta}$

$= \frac{\tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} + \frac{1}{\tan \theta(1 - \tan \theta)}$

$= \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta - 1} - \frac{1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$    [২য় ভগ্নাংশের হরে মাইনাস কমন নিয়ে]

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{\tan^3 \theta - 1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$

$a^3 - b^3$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(\tan \theta - 1)(\tan^2 \theta + \tan \theta \cdot 1 + 1^2)}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$

$= \frac{\tan^2 \theta + \tan \theta + 1}{\tan \theta}$

এখন ভগ্নাংশটিকে আলাদা করে লিখি,

$= \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta} + \frac{\tan \theta}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \theta}$

$= \tan \theta + 1 + \cot \theta$

$= X + 1 + Y$

$= X + Y + 1$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= X + Y + 1$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{X}{1-Y} + \frac{Y}{1-X} = X+Y+1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$X = \tan \theta$ এবং $Z = \sin \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= (X+Z)^2 - (X-Z)^2$

আমরা বীজগণিতের সূত্র হতে জানি, $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

$\therefore (X+Z)^2 - (X-Z)^2 = 4XZ$

$= 4\tan \theta \cdot \sin \theta$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 4\sqrt{X^2-Z^2}$

$= 4\sqrt{\tan^2 \theta - \sin^2 \theta}$

আমরা জানি, $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$= 4\sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta}$

রুটের ভেতর থেকে $\sin^2 \theta$ কমন নিয়ে পাই,

$= 4\sqrt{\sin^2 \theta \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1\right)}$

$= 4\sin \theta \sqrt{\sec^2 \theta - 1}$    [যেহেতু $\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$]

আবার, $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$

$= 4\sin \theta \sqrt{\tan^2 \theta}$

$= 4\sin \theta \cdot \tan \theta$

$= 4\tan \theta \cdot \sin \theta$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

$\therefore (X+Z)^2-(X-Z)^2=4\sqrt{X^2-Z^2}$ Showed

Previous See All Next