ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৭

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি $= \frac{1 - \tan^2 60^\circ}{1 + \tan^2 60^\circ} + \sin^2 60^\circ$

আমরা জানি, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ এবং $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1 - (\sqrt{3})^2}{1 + (\sqrt{3})^2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \frac{1 - 3}{1 + 3} + \frac{3}{4}$

$= \frac{-2}{4} + \frac{3}{4}$

$= -\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{-2 + 3}{4}$

$= \frac{1}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{1}{4}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

১ম সমীকরণ হতে পাই,

$\sin \theta + \cos \theta = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2$

বা, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1 - 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 0$

বা, $\sin \theta \cos \theta = 0$

হয়,

$\sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = \sin 0^\circ$

$\therefore \theta = 0^\circ$

অথবা,

$\cos \theta = 0$

বা, $\cos \theta = \cos 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

শর্ত দেওয়া আছে, $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$। এখানে $\theta = 0^\circ$ এবং $\theta = 90^\circ$ উভয় মানই শর্ত পূরণ করে এবং প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $\theta = 0^\circ, 90^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

২য় সমীকরণ হতে পাই,

$2 \cos^2 \theta + 3 \sin \theta = 3$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

বা, $2(1 - \sin^2 \theta) + 3 \sin \theta - 3 = 0$

বা, $2 - 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 3 = 0$

বা, $- 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 1 = 0$

উভয়পক্ষকে $(-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $2 \sin^2 \theta - 3 \sin \theta + 1 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $2 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta - \sin \theta + 1 = 0$

বা, $2 \sin \theta (\sin \theta - 1) - 1 (\sin \theta - 1) = 0$

বা, $(\sin \theta - 1)(2 \sin \theta - 1) = 0$

হয়,

$\sin \theta - 1 = 0$

বা, $\sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \sin 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

কিন্তু শর্ত দেওয়া আছে, $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$ (অর্থাৎ $\theta$ এর মান $0^\circ$ এবং $90^\circ$ এর মধ্যবর্তী)। তাই $\theta = 90^\circ$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$2 \sin \theta - 1 = 0$

বা, $2 \sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\sin \theta = \sin 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

যেহেতু, $\theta = 30^\circ$ শর্তটি ($0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$) পূরণ করে, তাই এটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, ২য় সমীকরণ থেকে দেখানো হলো যে, $\theta = 30^\circ$ Shown