ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৬

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 30^\circ$

প্রদত্ত রাশি $= \cos A - \sin A$

$A$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \cos 30^\circ - \sin 30^\circ$

আমরা জানি, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \sin \theta$ এবং $b = \cos \theta$

আবার দেওয়া আছে,

$a^2 + a^4 = 1$

$a$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\sin^2 \theta + \sin^4 \theta = 1$

বা, $\sin^4 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

আমরা জানি, $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

বা, $\sin^4 \theta = \cos^2 \theta$ ........ (i)

বামপক্ষ $= \left( \frac{a}{b} \right)^4 - \left( \frac{a}{b} \right)^2$

$= \frac{a^4}{b^4} - \frac{a^2}{b^2}$

$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\sin^4 \theta}{\cos^4 \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

সমীকরণ (i) হতে মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\cos^2 \theta}{\cos^4 \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$= \frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$= \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $\left( \frac{a}{b} \right)^4 - \left( \frac{a}{b} \right)^2 = 1$। Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \sin \theta$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\sqrt{2} a^2 - \left( 1+ \sqrt{2} \right)a + 1 = 0$

$a$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\sqrt{2} \sin^2 \theta - (1 + \sqrt{2}) \sin \theta + 1 = 0$

বা, $\sqrt{2} \sin^2 \theta - \sin \theta - \sqrt{2} \sin \theta + 1 = 0$

কমন নিয়ে পাই,

বা, $\sin \theta (\sqrt{2} \sin \theta - 1) - 1 (\sqrt{2} \sin \theta - 1) = 0$

বা, $(\sqrt{2} \sin \theta - 1)(\sin \theta - 1) = 0$

হয়,

$\sqrt{2} \sin \theta - 1 = 0$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin \theta = \sin 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

অথবা,

$\sin \theta - 1 = 0$

বা, $\sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \sin 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

যেহেতু শর্ত দেওয়া আছে, $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$, তাই উভয় মানই গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $\theta = 45^\circ, 90^\circ$। Answer