ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২৮

২৮ $\frac{\tan \theta + \sec \theta}{\tan \theta - \sec \theta} = \frac{x+y}{x-y}$ এবং $\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt2 \sin \alpha$

• (ক) $\tan A = \frac{3}{4}$ হলে, $\sin A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x=1$, $y=\sqrt2$ এবং $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \tan \alpha$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan A = \frac{3}{4}$

আমরা জানি,

$\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$

বা, $\sec^2 A = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2$

বা, $\sec^2 A = 1 + \frac{9}{16}$

ল.সা.গু. করে পাই,

বা, $\sec^2 A = \frac{16 + 9}{16}$

বা, $\sec^2 A = \frac{25}{16}$

বা, $\sec A = \frac{5}{4}$

আমরা জানি, $\cos A = \frac{1}{\sec A}$

$\therefore \cos A = \frac{4}{5}$

আবার আমরা জানি, $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

বা, $\sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2$

বা, $\sin^2 A = 1 - \frac{16}{25}$

বা, $\sin^2 A = \frac{25 - 16}{25}$

বা, $\sin^2 A = \frac{9}{25}$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

$\therefore \sin A = \frac{3}{5}$

সুতরাং, $\sin A$ এর নির্ণেয় মান $\frac{3}{5}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\frac{\tan \theta + \sec \theta}{\tan \theta - \sec \theta} = \frac{x+y}{x-y}$

দেওয়া আছে, $x = 1$ এবং $y = \sqrt{2}$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\tan \theta + \sec \theta}{\tan \theta - \sec \theta} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(\tan \theta + \sec \theta) + (\tan \theta - \sec \theta)}{(\tan \theta + \sec \theta) - (\tan \theta - \sec \theta)} = \frac{(1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{2\tan \theta}{2\sec \theta} = \frac{2}{2\sqrt{2}}$

বা, $\frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

অনুপাতগুলোকে সাইন ও কোসাইনে ভাঙলে পাই,

বা, $\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos \theta}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

আমরা জানি, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin \theta = \sin 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, $\theta$ এর নির্ণেয় মান $45^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha$ ........ (i)

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\cos \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha + \sin \alpha$

বা, $\cos \alpha = \sin \alpha (\sqrt{2} + 1)$

বা, $\sin \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{2} + 1}$

লব ও হরকে $(\sqrt{2} - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\sin \alpha = \frac{\cos \alpha (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$

বা, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - \cos \alpha}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

বা, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - \cos \alpha}{2 - 1}$

বা, $\sin \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha - \cos \alpha$

পক্ষান্তর করে পাই,

$\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha$ ........ (ii)

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$

সমীকরণ (i) ও (ii) হতে মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha}$

$= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$= \tan \alpha$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \tan \alpha$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \tan \alpha$ Proved

Previous See All Next