গণিত : ভগ্নাংশ সমস্যা সমাধান - ২

উত্তর : (গ) $\frac38$

এই ধরনের Problem সমাধা করার সবচেয়ে সঠিক নিয়ম হচ্ছে, চারটি অপশনের প্রতিটিকে প্রশ্ন দিয়ে ধারাবাহিক ভাবে টেস্ট করা। যে অপশনের সাথে মিলে যাবে সেটিই উত্তর।

এখানে (গ) অপশনে আছে $\frac38$।

এখানে উপরে লব 3, প্রশ্নের প্রথম শর্ত অনুসারে যদি লবের সাথে 1 যোগ করি, তবে হয় 4, তখন ভগ্নাংশটি হবে $\frac48$=$\frac12$ অর্থাৎ প্রথম শর্ত পূরণ হলো।
আবার অপশন (গ) এর হর আছে 8, যার সাথে 1 যোগ করলে হয় 9, তখন ভগ্নাংশটি হবে $\frac39$=$\frac13$, অর্থাৎ দ্বিতীয় শর্তও পূরণ করে।
অন্য অপশনগুলো এই শর্তপূরণ করবে না, শুধু অপশন (গ)ই প্রশ্নের শর্ত দুইটি পূরণ করে। তাই সঠিক উত্তর হবে অপশন (গ) $\frac38$

বিকল্প সমাধান
ধরি, লব x এবং হর y, অর্থাৎ ভগ্নাংশটি হবে $\frac{x}{y}$

প্রশ্নমতে,
$\frac{x+1}{y}=\frac12$
এবং, $\frac{x}{y+1}=\frac13$

সমাধান করে পাই, X=3, y=8

$\therefore$ ভগ্নাংশটি = $\frac{x}{y}=\frac38$

উত্তর : (গ) $\frac{5}{12}$

শরীফ মিয়া পাট ও ধান একতে চাষ করেন $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ = $\frac{3+4}{12}$ = $\frac{7}{12}$ অংশ

$\therefore$ তিনি গম চাষ করেন $\left(1-\frac{7}{12} \right)$ = $\frac{12-7}{12}$ = $\frac{5}{12}$ অংশ

উত্তর : (ঘ) 6 মিটার

খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে আছে মোট $\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$ = $\frac{1+3}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ অংশ

$\therefore$ বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে $\left(1-\frac{2}{3} \right)$ = $\frac{3-2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ অংশ

প্রশ্নমতে,
$\frac{1}{3}$ অংশ = 2 মিটার
$\therefore$ 1 বা সম্পূর্ণ অংশ = $2 \times 3$ = 6 মিটার

উত্তর : (খ) $\frac{5}{6}$

মাটির মধ্যে আছে এক তৃতীয়াংশ = $\frac{1}{3}$ অংশ মাটির মধ্যে
অর্ধেক পরিমাণ পানির মধ্যে = $\frac{1}{2}$ অংশ পানির মধ্যে

খুঁটিটির মাটি ও পানিতে আছে মোট $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ = $\frac{2+3}{6}$ = $\frac{5}{6}$ = $\frac{5}{6}$ অংশ

উত্তর : (ক) ক=৫০, খ=৬০

প্রশ্নমতে,
$\frac{ক}{২}+\frac{খ}{৩} = ৪৫$ ......($i$)
$\frac{ক}{৫}+\frac{খ}{২} = ৪০$ ......($ii$)
($i$) নং সমীকরণকে $\frac{১}{২}$ দ্বারা গুণ এবং ($ii$) নং সমীকরণকে $\frac{১}{৩}$ দ্বারা গুণ করার পর ($i$) নং থেকে ($ii$) নং সমীকরণ বিয়োগ করে,

$\left(\frac{ক}{৪}+\frac{খ}{৬}\right) - \left(\frac{ক}{১৫}+\frac{খ}{৬}\right) = \frac{৪৫}{২} - \frac{৪০}{৩}$

বা, $\frac{ক}{৪}+ \frac{খ}{৬} - \frac{ক}{১৫}- \frac{খ}{৬} = \frac{৪৫}{২} - \frac{৪০}{৩}$

বা, $\frac{ক}{৪} - \frac{ক}{১৫} = \frac{৪৫}{২} - \frac{৪০}{৩}$

বা, $\frac{১৫ক - ৪ক}{৬০} = \frac{১৩৫ - ৮০}{৬}$

বা, $\frac{১১ক}{৬০} = \frac{৫৫}{৬}$

বা, ক = $\frac{৫৫}{৬} \times \frac{৬০}{১১}$

$\therefore$ ক = ৫০

($i$) নং সমীকরণ,

$\frac{ক}{২}+\frac{খ}{৩} = ৪৫$

বা, $\frac{৫০}{২}+\frac{খ}{৩} = ৪৫$ [ক এর মান বসিয়ে]

বা, $২৫+\frac{খ}{৩} = ৪৫$

বা, $\frac{খ}{৩} = ৪৫-২৫$

বা, $\frac{খ}{৩} = ২০$

$\therefore$ খ = $২০ \times ৩$ = ৬০

উত্তর : (ঘ) ৭২০

ধরি, সুমনের কাছে $x$ টাকা
$\therefore$ ১টি ডাকটিকেটের মূল্য $\frac{x}{১৮}$ টাকা।
২টি টিকিট বেশি পেলে প্রতিটির মূল্য $\frac{x}{১৮+২}$ = $\frac{x}{২০}$ টাকা

প্রশ্নমতে,

$\frac{x}{১৮} - \frac{x}{২০}$ = ৪

বা, $\frac{১০x-৯x}{১৮০}$ = ৪

$\therefore$ x = ৭২০

উত্তর : (ঘ) $\frac{১}{১০}$

মনে করি, অপর ভগ্নাংশটি $x$
$\therefore x \times \frac{২৫}{১৯} = \frac{৫}{৩৮}$

বা, $ x = \frac{৫}{৩৮} \times \frac{১৯}{২৫}$

$\therefore x = \frac{১}{১০}$

উত্তর : (ক) ২০ মিটার

পানির উপরে থাকে = $\left( ১ - ০.১৫ - ০.৬৫ \right)$ অংশ = ০.২০ অংশ

$\therefore$ ০.২০ অংশ = ৪ মিটার

বা, ১ অংশ = $\left(৪ \div ০.২০ \right)$ মিটার

বা, ১ অংশ = $\left(৪ \div \frac{২০}{১০০} \right)$ মিটার

বা, ১ অংশ = $\left(৪ \times \frac{১০০}{২০} \right)$ মিটার

$\therefore$ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ২০ মিটার

উত্তর : (ক) ৩ বার

$\frac{২০}{২১} \div \frac{২০}{৬৩}$

=$\frac{২০}{২১} \times \frac{৬৩}{২০}$

=৩

কৌশল : যদি বলা হয়, যে কোন ঝুড়িতে ১০টি আম আছে, তবে সেখান থেকে ৫ টি করে আম কয়বার নিতে পারবেন? নিশ্চয় এর সমাধান হবে ১০ $\div$ ৫ = ২ বার।
প্রশ্নের সমস্যাটিও একই রকম। ভাগ করে সমাধন নির্ণয় করতে হবে।

উত্তর : (ক) ৭৮৯৬ টাকা

০.৮৭৫ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা

$\therefore$ ১ অংশের মূল্য = $\frac {৯২১২}{০.৮৭৫}$

$\therefore$ ০.৭৫ অংশের মূল্য = $\frac {৯২১২ \times ০.৭৫}{০.৮৭৫}$ = $\frac {৯২১২ \times ৭৫ \times ১০০০}{৮৭৫ \times ১০০}$ = ৭৮৯৬ টাকা।

উত্তর : (ঙ) কোনটিই নয়

মনেকরি, রহিম $x$ টাকা বেতন পেয়েছিল।

মোট খরচ $\frac{x}{৫}+৫০০$ = $x$ এর ৬০%

বা, $\frac{x+২৫০০}{৫}=\frac{৬০x}{১০০}$

বা, ৩০০$x$=১০০$x$+২৫০০০০

বা, ৩০০$x$-১০০$x$ = ২৫০০০০

বা, ২০০$x$ = ২৫০০০০

$\therefore$ $x$ = ১২৫০

উত্তর : (ক) নিশির বেতন ২৭০০০; নাদিয়ার বেতন ২১০০০

মনে করি, নিশির বেতন $x$ টাকা ও নাদিয়ার বেতন $y$ টাকা

প্রশ্নমতে,
$x$ এর $\frac{২}{৯}$ + $y$ এর $\frac{২}{৭}$ = ১২০০০

বা, $\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২y}{৭}$ = ১২০০০ .....($i$)

এবং, $x$ এর $\frac{১}{৯}$ + $y$ এর $\frac{৩}{৭}$ = ১২০০০

বা, $\frac{x}{৯}$ + $\frac{৩y}{৭}$ = ১২০০০ .....($ii$)

যেতেহু দুইটি সমীকরণের মান একই তাই,

$\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২y}{৭}$ = $\frac{x}{৯}$ + $\frac{৩y}{৭}$

বা, $\frac{২x}{৯}$ - $\frac{x}{৯}$= $\frac{৩y}{৭}$ - $\frac{২y}{৭}$

বা, $\frac{২x-x}{৯}$ = $\frac{৩y-২y}{৭}$

বা, $\frac{x}{৯}$ = $\frac{y}{৭}$

[ অর্থাৎ নিশির বেতনকে যদি ৯ দিয়ে ভাগ করি আর নাদিয়ার বেতনকি যদি ৭ দিয়ে ভাগ করি তখন ফলাফল সমান হবে। প্রশ্নের সবগুলো অপশন চেক করলেই দেখা যাবে অপশন (ক) এর সাথে মিলে যায়। ]

($ii$) নং সমীকরণ,

$\frac{x}{৯}$ + $\frac{৩y}{৭}$ = ১২০০০

বা, $\frac{y}{৭}$ + $\frac{৩y}{৭}$ = ১২০০০ [$\frac{x}{৯}$ এর মান বসিয়ে]

বা, $\frac{y+৩y}{৭}$ = ১২০০০

বা, $\frac{৪y}{৭}$ = ১২০০০

বা, $y$ = $১২০০০ \times \frac{৭}{৪}$ = ২১০০০ টাকা

[ অর্থাৎ নাদিয়ার বেতন ২১০০০ টাকা, যা অপশন (ক) এর সাথে মিলে যায়। ]

($i$) নং সমীকরণ,

$\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২y}{৭}$ = ১২০০০

বা, $\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২\times২১০০০}{৭}$ = ১২০০০ [$y$ এর মান বসিয়ে]

বা, $\frac{২x}{৯}$ + ২$\times$৩০০০ = ১২০০০

বা, $\frac{২x}{৯}$ + ৬০০০ = ১২০০০

বা, $\frac{২x}{৯}$ = ১২০০০ - ৬০০০ = ৬০০০

বা, $x$ = ৬০০০ $\times \frac{৯}{২}$ = ২৭০০০

অর্থাৎ নিশির বেতন $x$ = ২৭০০০ টাকা এবং নাদিয়ার বেতন $y$ = ২১০০০ টাকা।