- ভগ্নাংশ সমস্যার সমাধান - ১
- ভগ্নাংশ সমস্যার সমাধান - ২
১.৪.২৬ কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 1 যোগ করলে $\frac12$ হয় এবং হরের সাথে 1 যোগ করলে তা $\frac13$ হয়, ভগ্নাংশটি কত?
(ক) $\frac27$
(খ) $\frac18$
(গ) $\frac38$
(ঘ) $\frac35$
উত্তর : (গ) $\frac38$
এই ধরনের Problem সমাধা করার সবচেয়ে সঠিক নিয়ম হচ্ছে, চারটি অপশনের প্রতিটিকে প্রশ্ন দিয়ে ধারাবাহিক ভাবে টেস্ট করা। যে অপশনের সাথে মিলে যাবে সেটিই উত্তর।এখানে (গ) অপশনে আছে $\frac38$।
এখানে উপরে লব 3, প্রশ্নের প্রথম শর্ত অনুসারে যদি লবের সাথে 1 যোগ করি, তবে হয় 4, তখন ভগ্নাংশটি হবে $\frac48$=$\frac12$ অর্থাৎ প্রথম শর্ত পূরণ হলো।আবার অপশন (গ) এর হর আছে 8, যার সাথে 1 যোগ করলে হয় 9, তখন ভগ্নাংশটি হবে $\frac39$=$\frac13$, অর্থাৎ দ্বিতীয় শর্তও পূরণ করে।
অন্য অপশনগুলো এই শর্তপূরণ করবে না, শুধু অপশন (গ)ই প্রশ্নের শর্ত দুইটি পূরণ করে। তাই সঠিক উত্তর হবে অপশন (গ) $\frac38$
বিকল্প সমাধান
ধরি, লব x এবং হর y, অর্থাৎ ভগ্নাংশটি হবে $\frac{x}{y}$
প্রশ্নমতে,
$\frac{x+1}{y}=\frac12$
এবং, $\frac{x}{y+1}=\frac13$
সমাধান করে পাই, X=3, y=8
$\therefore$ ভগ্নাংশটি = $\frac{x}{y}=\frac38$১.৪.২৭ শরীফ মিয়া তাঁর জমির $\frac{1}{4}$ অংশে পাট ও $\frac{1}{3}$ অংশে ধান চাষ করলেন। অবশিষ্ট জমিতে গম চাষ করলেন। তিনি তাঁর মোট জমির কত অংশে গম চাষ করলেন?
(ক) $\frac{7}{12}$
(খ) $\frac{6}{12}$
(গ) $\frac{5}{12}$
(ঘ) $\frac{4}{12}$
উত্তর : (গ) $\frac{5}{12}$
শরীফ মিয়া পাট ও ধান একতে চাষ করেন $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ = $\frac{3+4}{12}$ = $\frac{7}{12}$ অংশ
$\therefore$ তিনি গম চাষ করেন $\left(1-\frac{7}{12} \right)$ = $\frac{12-7}{12}$ = $\frac{5}{12}$ অংশ১.৪.২৮ একটি খুঁটির $\frac{1}{6}$ অংশ কাদায়, $\frac{1}{2}$ অংশ পানিতে, এবং বাকী অংশ পানির উপরে আছে। পানির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য 2 মিটার হলে, মোট বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
(ক) 10 মিটার
(খ) 8 মিটার
(গ) 12 মিটার
(ঘ) 6 মিটার
উত্তর : (ঘ) 6 মিটার
খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে আছে মোট $\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$ = $\frac{1+3}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ অংশ
$\therefore$ বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে $\left(1-\frac{2}{3} \right)$ = $\frac{3-2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ অংশ
প্রশ্নমতে,$\frac{1}{3}$ অংশ = 2 মিটার
$\therefore$ 1 বা সম্পূর্ণ অংশ = $2 \times 3$ = 6 মিটার
১.৪.২৯ একটি খুঁটির এক তৃতীয়াংশ মাটির মধ্যে এবং অর্ধেক পরিমাণ পানির মধ্যে থাকলে মোট কত অংশ মাটি ও পানির মধ্যে আছে?
(ক) $\frac{1}{6}$
(খ) $\frac{5}{6}$
(গ) $\frac{1}{2}$
(ঘ) $\frac{4}{5}$
উত্তর : (খ) $\frac{5}{6}$
মাটির মধ্যে আছে এক তৃতীয়াংশ = $\frac{1}{3}$ অংশ মাটির মধ্যেঅর্ধেক পরিমাণ পানির মধ্যে = $\frac{1}{2}$ অংশ পানির মধ্যে
খুঁটিটির মাটি ও পানিতে আছে মোট $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ = $\frac{2+3}{6}$ = $\frac{5}{6}$ = $\frac{5}{6}$ অংশ
১.৪.৩০ ক ও খ দুটি সংখ্যা। ক এর $\frac{১}{২}$ এবং খ এর $\frac{১}{৩}$ অংশ যোগ করলে ৪৫ হয়। খ এর অর্ধেক এবং ক এর $\frac{১}{৫}$ অংশ যোগ করলে ৪০ হয়। ক ও খ এর মান কত?
(ক) ক=৫০, খ=৬০
(খ) ক=৬০, খ=৫০
(গ) ক=৪০, খ=৪৮
(ঘ) ক=৬০, খ=৪৮
উত্তর : (ক) ক=৫০, খ=৬০
প্রশ্নমতে,$\frac{ক}{২}+\frac{খ}{৩} = ৪৫$ ......($i$)
$\frac{ক}{৫}+\frac{খ}{২} = ৪০$ ......($ii$)
($i$) নং সমীকরণকে $\frac{১}{২}$ দ্বারা গুণ এবং ($ii$) নং সমীকরণকে $\frac{১}{৩}$ দ্বারা গুণ করার পর ($i$) নং থেকে ($ii$) নং সমীকরণ বিয়োগ করে,
$\left(\frac{ক}{৪}+\frac{খ}{৬}\right) - \left(\frac{ক}{১৫}+\frac{খ}{৬}\right) = \frac{৪৫}{২} - \frac{৪০}{৩}$
বা, $\frac{ক}{৪}+ \frac{খ}{৬} - \frac{ক}{১৫}- \frac{খ}{৬} = \frac{৪৫}{২} - \frac{৪০}{৩}$
বা, $\frac{ক}{৪} - \frac{ক}{১৫} = \frac{৪৫}{২} - \frac{৪০}{৩}$
বা, $\frac{১৫ক - ৪ক}{৬০} = \frac{১৩৫ - ৮০}{৬}$
বা, $\frac{১১ক}{৬০} = \frac{৫৫}{৬}$
বা, ক = $\frac{৫৫}{৬} \times \frac{৬০}{১১}$
$\therefore$ ক = ৫০
($i$) নং সমীকরণ,
$\frac{ক}{২}+\frac{খ}{৩} = ৪৫$
বা, $\frac{৫০}{২}+\frac{খ}{৩} = ৪৫$ [ক এর মান বসিয়ে]
বা, $২৫+\frac{খ}{৩} = ৪৫$
বা, $\frac{খ}{৩} = ৪৫-২৫$
বা, $\frac{খ}{৩} = ২০$
$\therefore$ খ = $২০ \times ৩$ = ৬০১.৪.৩১ যদি সুমনের কাছে যে টাকা আছে তা দিয়ে সে ১৮টি ডাকটিকেট ক্রয় করতে পারে। যদি প্রতিটি ডাকটিকিটের মূল্য ৪ টাকা কম হত তাহলে সে আরো দুটি ডাকটিকিট বেশি ক্রয় করতে পারত তার কাছে কত টাকা আছে?
(ক) ১৮০
(খ) ৩৬০
(গ) ৫৪০
(ঘ) ৭২০
(ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর : (ঘ) ৭২০
ধরি, সুমনের কাছে $x$ টাকা$\therefore$ ১টি ডাকটিকেটের মূল্য $\frac{x}{১৮}$ টাকা।
২টি টিকিট বেশি পেলে প্রতিটির মূল্য $\frac{x}{১৮+২}$ = $\frac{x}{২০}$ টাকা
প্রশ্নমতে,
$\frac{x}{১৮} - \frac{x}{২০}$ = ৪
বা, $\frac{১০x-৯x}{১৮০}$ = ৪
$\therefore$ x = ৭২০১.৪.৩২ ২টি ভগ্নাংশের গুণফল $\frac{৫}{৩৮}$। এদের একটি $\frac{২৫}{১৯}$ হলে অপরটি কত হবে?
(ক) $\frac{১}{৫}$
(খ) $\frac{১}{২}$
(গ) $\frac{২}{৩}$
(ঘ) $\frac{১}{১০}$
উত্তর : (ঘ) $\frac{১}{১০}$
মনে করি, অপর ভগ্নাংশটি $x$$\therefore x \times \frac{২৫}{১৯} = \frac{৫}{৩৮}$
বা, $ x = \frac{৫}{৩৮} \times \frac{১৯}{২৫}$
$\therefore x = \frac{১}{১০}$
১.৪.৩৩ একটি বাঁশের ০.১৫ অংশ কাদায় ও ০.৬৫ অংশ পানিতে আছে। যদি পানির উপরের বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হয়। তাহলে সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
(ক) ২০ মিটার
(খ) ২২ মিটার
(গ) ১৮ মিটার
(ঘ) ২৬ মিটার
(ঙ) কোনোটির নয়
উত্তর : (ক) ২০ মিটার
পানির উপরে থাকে = $\left( ১ - ০.১৫ - ০.৬৫ \right)$ অংশ = ০.২০ অংশ$\therefore$ ০.২০ অংশ = ৪ মিটার
বা, ১ অংশ = $\left(৪ \div ০.২০ \right)$ মিটার
বা, ১ অংশ = $\left(৪ \div \frac{২০}{১০০} \right)$ মিটার
বা, ১ অংশ = $\left(৪ \times \frac{১০০}{২০} \right)$ মিটার
$\therefore$ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ২০ মিটার১.৪.৩৪ $\frac{২০}{২১}$ এর মধ্যে $\frac{২০}{৬৩}$ কতবার আছে?
(ক) ৩ বার
(খ) ৫ বার
(গ) ৬ বার
(ঘ) ৯ বার
উত্তর : (ক) ৩ বার
$\frac{২০}{২১} \div \frac{২০}{৬৩}$=$\frac{২০}{২১} \times \frac{৬৩}{২০}$
=৩কৌশল : যদি বলা হয়, যে কোন ঝুড়িতে ১০টি আম আছে, তবে সেখান থেকে ৫ টি করে আম কয়বার নিতে পারবেন? নিশ্চয় এর সমাধান হবে ১০ $\div$ ৫ = ২ বার।
প্রশ্নের সমস্যাটিও একই রকম। ভাগ করে সমাধন নির্ণয় করতে হবে।
১.৪.৩৫ কোনো সম্পত্তির ০.৮৭৫ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা হলে ০.৭৫ অংশের মূল্য কত?
(ক) ৭৮৯৬ টাকা
(খ) ৭৯৯৬ টাকা
(গ) ৮৯৬৯ টাকা
(ঘ) ৮৯৯৬ টাকা
উত্তর : (ক) ৭৮৯৬ টাকা
০.৮৭৫ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা$\therefore$ ১ অংশের মূল্য = $\frac {৯২১২}{০.৮৭৫}$
$\therefore$ ০.৭৫ অংশের মূল্য = $\frac {৯২১২ \times ০.৭৫}{০.৮৭৫}$ = $\frac {৯২১২ \times ৭৫ \times ১০০০}{৮৭৫ \times ১০০}$ = ৭৮৯৬ টাকা।
১.৪.৩৬ রহিম তার বেতনের টাকার $\frac১৫$ অংশ খরচ করে একটি শার্ট এবং ৫০০ টাকা খরচ করে একটি প্যান্ট কিনলো। এই টাকা খরচ করার পর তা কাছে বেতনের ৪০ শতাংশ টাকা রয়ে গেল। রহিম কত টাকা বেতন পেয়েছিল?
(ক) ২০০০ টাকা
(খ) ২৫০০ টাকা
(গ) ৩০০০ টাকা
(ঘ) ৪০০০ টাকা
(ঙ) কোনটিই নয়
উত্তর : (ঙ) কোনটিই নয়
মনেকরি, রহিম $x$ টাকা বেতন পেয়েছিল।মোট খরচ $\frac{x}{৫}+৫০০$ = $x$ এর ৬০%
বা, $\frac{x+২৫০০}{৫}=\frac{৬০x}{১০০}$
বা, ৩০০$x$=১০০$x$+২৫০০০০
বা, ৩০০$x$-১০০$x$ = ২৫০০০০
বা, ২০০$x$ = ২৫০০০০
$\therefore$ $x$ = ১২৫০১.৪.৩৭ নিশি এবং নাদিয়া দুই বোন। নিশির বেতনের $\frac{২}{৯}$ অংশ এবং নাদিয়ার বেতনের $\frac{২}{৭}$ অংশ যোগ করলে ১২০০০ টাকা হয় আবার নাদিয়ার বেতনের $\frac{৩}{৭}$ অংশ এবং নিশির বেতনের $\frac{১}{৯}$ যোগ করলে ১২০০০ টাকা হয়। কার বেতন কত?
(ক) নিশির বেতন ২৭০০০; নাদিয়ার বেতন ২১০০০
(খ) নিশির বেতন ২৮০০০; নাদিয়ার বেতন ২২০০০
(গ) নিশির বেতন ৩০০০০; নাদিয়ার বেতন ২৮০০০
(ঘ) নিশির বেতন ২৮০০০; নাদিয়ার বেতন ২২০০০
উত্তর : (ক) নিশির বেতন ২৭০০০; নাদিয়ার বেতন ২১০০০
মনে করি, নিশির বেতন $x$ টাকা ও নাদিয়ার বেতন $y$ টাকাপ্রশ্নমতে,
$x$ এর $\frac{২}{৯}$ + $y$ এর $\frac{২}{৭}$ = ১২০০০
বা, $\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২y}{৭}$ = ১২০০০ .....($i$)
এবং, $x$ এর $\frac{১}{৯}$ + $y$ এর $\frac{৩}{৭}$ = ১২০০০
বা, $\frac{x}{৯}$ + $\frac{৩y}{৭}$ = ১২০০০ .....($ii$)
যেতেহু দুইটি সমীকরণের মান একই তাই,
$\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২y}{৭}$ = $\frac{x}{৯}$ + $\frac{৩y}{৭}$
বা, $\frac{২x}{৯}$ - $\frac{x}{৯}$= $\frac{৩y}{৭}$ - $\frac{২y}{৭}$
বা, $\frac{২x-x}{৯}$ = $\frac{৩y-২y}{৭}$
বা, $\frac{x}{৯}$ = $\frac{y}{৭}$
[ অর্থাৎ নিশির বেতনকে যদি ৯ দিয়ে ভাগ করি আর নাদিয়ার বেতনকি যদি ৭ দিয়ে ভাগ করি তখন ফলাফল সমান হবে। প্রশ্নের সবগুলো অপশন চেক করলেই দেখা যাবে অপশন (ক) এর সাথে মিলে যায়। ]($ii$) নং সমীকরণ,
$\frac{x}{৯}$ + $\frac{৩y}{৭}$ = ১২০০০
বা, $\frac{y}{৭}$ + $\frac{৩y}{৭}$ = ১২০০০ [$\frac{x}{৯}$ এর মান বসিয়ে]
বা, $\frac{y+৩y}{৭}$ = ১২০০০
বা, $\frac{৪y}{৭}$ = ১২০০০
বা, $y$ = $১২০০০ \times \frac{৭}{৪}$ = ২১০০০ টাকা
[ অর্থাৎ নাদিয়ার বেতন ২১০০০ টাকা, যা অপশন (ক) এর সাথে মিলে যায়। ]($i$) নং সমীকরণ,
$\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২y}{৭}$ = ১২০০০
বা, $\frac{২x}{৯}$ + $\frac{২\times২১০০০}{৭}$ = ১২০০০ [$y$ এর মান বসিয়ে]
বা, $\frac{২x}{৯}$ + ২$\times$৩০০০ = ১২০০০
বা, $\frac{২x}{৯}$ + ৬০০০ = ১২০০০
বা, $\frac{২x}{৯}$ = ১২০০০ - ৬০০০ = ৬০০০
বা, $x$ = ৬০০০ $\times \frac{৯}{২}$ = ২৭০০০
অর্থাৎ নিশির বেতন $x$ = ২৭০০০ টাকা এবং নাদিয়ার বেতন $y$ = ২১০০০ টাকা।