ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২৯

২৯ (i) ${\rm cosec}\ A - \cot A = \frac{1}{x}$ এবং (ii) $\sin \theta + \sqrt3 \cos \theta = 2$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $x=2$ হলে, ${\rm cosec}\ A + \cot A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং থেকে প্রমাণ কর যে, $\cos A = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
• (গ) (ii) নং সমীকরণটি সমাধান কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

${\rm cosec}\ A - \cot A = \frac{1}{x}$

এখানে $x=2$ বসালে পাই,

${\rm cosec}\ A - \cot A = \frac{1}{2}$

আমরা জানি,

${\rm cosec}^2 A - \cot^2 A = 1$

বা, $({\rm cosec}\ A + \cot A)({\rm cosec}\ A - \cot A) = 1$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $({\rm cosec}\ A + \cot A) \times \frac{1}{2} = 1$

বা, ${\rm cosec}\ A + \cot A = 1 \times 2$

$\therefore {\rm cosec}\ A + \cot A = 2$

সুতরাং, ${\rm cosec}\ A + \cot A$ এর নির্ণেয় মান $2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

${\rm cosec}\ A - \cot A = \frac{1}{x}$

অনুপাতগুলোকে সাইন ও কোসাইনে ভাঙলে পাই,

বা, $\frac{1}{\sin A} - \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{1}{x}$

বা, $\frac{1 - \cos A}{\sin A} = \frac{1}{x}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $\frac{(1 - \cos A)^2}{\sin^2 A} = \frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{(1 - \cos A)^2}{1 - \cos^2 A} = \frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{(1 - \cos A)(1 - \cos A)}{(1 - \cos A)(1 + \cos A)} = \frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A} = \frac{1}{x^2}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(1 - \cos A) + (1 + \cos A)}{(1 - \cos A) - (1 + \cos A)} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{1 - \cos A + 1 + \cos A}{1 - \cos A - 1 - \cos A} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$

বা, $\frac{2}{-2 \cos A} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$

বা, $\frac{1}{-\cos A} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$

বা, $\frac{1}{\cos A} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$     [মাইনাস চিহ্ন দিয়ে গুণ করে]

বিপরীতকরণ করে পাই,

$\therefore \cos A = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\sin \theta = 2 - \sqrt{3} \cos \theta$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $\sin^2 \theta = (2 - \sqrt{3} \cos \theta)^2$

বা, $1 - \cos^2 \theta = (2)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cos \theta + (\sqrt{3} \cos \theta)^2$

বা, $1 - \cos^2 \theta = 4 - 4\sqrt{3} \cos \theta + 3 \cos^2 \theta$

সবগুলো পদ ডানপাশে নিয়ে গেলে পাই,

বা, $3 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta - 4\sqrt{3} \cos \theta + 4 - 1 = 0$

বা, $4 \cos^2 \theta - 4\sqrt{3} \cos \theta + 3 = 0$

বর্গ নির্ণয়ের সূত্রে সাজিয়ে পাই,

বা, $(2 \cos \theta)^2 - 2 \cdot (2 \cos \theta) \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 0$

বা, $(2 \cos \theta - \sqrt{3})^2 = 0$

বর্গমূল করে পাই,

বা, $2 \cos \theta - \sqrt{3} = 0$

বা, $2 \cos \theta = \sqrt{3}$

বা, $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

আমরা জানি, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $\theta = 30^\circ$। Answer

Previous See All Next