ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩০

৩০ $p = \frac{\cos \theta}{1- \sin \theta}$, $q = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$ এবং $r = \sec \theta$

• (ক) $\tan A = x$ হলে, $\sec^2 A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $p+q = 2r$
• (গ) $q=1$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan A = x$

আমরা জানি,

$\sec^2 A - \tan^2 A = 1$

বা, $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$

মান বসিয়ে পাই,

$\sec^2 A = 1 + x^2$

সুতরাং, $\sec^2 A$ এর নির্ণেয় মান $1 + x^2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \frac{\cos \theta}{1- \sin \theta}$

$q = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$

$r = \sec \theta$

বামপক্ষ $= p + q$

$= \frac{\cos \theta}{1- \sin \theta} + \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{\cos^2 \theta + (1 - \sin \theta)^2}{\cos \theta (1 - \sin \theta)}$

বর্গের সূত্র ভেঙে পাই,

$= \frac{\cos^2 \theta + 1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta (1 - \sin \theta)}$

সাজিয়ে লিখে পাই,

$= \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 - 2 \sin \theta}{\cos \theta (1 - \sin \theta)}$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$= \frac{1 + 1 - 2 \sin \theta}{\cos \theta (1 - \sin \theta)}$

$= \frac{2 - 2 \sin \theta}{\cos \theta (1 - \sin \theta)}$

লব থেকে $2$ কমন নিয়ে পাই,

$= \frac{2(1 - \sin \theta)}{\cos \theta (1 - \sin \theta)}$

$= \frac{2}{\cos \theta}$

$= 2 \cdot \frac{1}{\cos \theta}$

$= 2 \sec \theta$     [যেহেতু $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$]

$= 2r$     [যেহেতু $r = \sec \theta$]

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore p + q = 2r$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$q = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$

প্রশ্নমতে, $q = 1$

বা, $\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} = 1$

বা, $1 - \sin \theta = \cos \theta$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(1 - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta$

বা, $1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$     [যেহেতু $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$]

সবগুলো পদ বামপাশে নিয়ে আসলে পাই,

বা, $1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta - 1 + \sin^2 \theta = 0$

বা, $2 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta = 0$

$2 \sin \theta$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $2 \sin \theta (\sin \theta - 1) = 0$

হয়, $2 \sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = \sin 0^\circ$

$\therefore \theta = 0^\circ$

অথবা, $\sin \theta - 1 = 0$

বা, $\sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \sin 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

কিন্তু $\theta = 90^\circ$ হলে, প্রদত্ত রাশি $q$ এর হর $\cos 90^\circ = 0$ হয়, ফলে ভগ্নাংশটি অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়।

তাই, $\theta = 90^\circ$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 0^\circ$। Answer

Previous See All Next