ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩১

৩১ $m \sin A = n \cos A$ এবং ${\rm cosec}\ (A-B) = 2$, যেখানে, $A$ এবং $B$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) দেখাও যে, $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, যখন $\theta=30^\circ$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\sec^2 A + {\rm cosec}^2\ A}{\sec^2 A - {\rm cosec}^2\ A} = \frac{n^2 + m^2}{n^2 - m^2}$ $(m \ne n)$
• (গ) $m=n=1$ হলে, $B$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\theta = 30^\circ$

বামপক্ষ $= \sin 2 \theta$

$= \sin (2 \times 30^\circ)$

$= \sin 60^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

ডানপক্ষ $= 2 \sin \theta \cos \theta$

$= 2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ$

$= 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ।

$\therefore \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ Showed

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m \sin A = n \cos A$

বা, $\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{n}{m}$

বা, $\tan A = \frac{n}{m}$

অতএব,

$\sec^2 A = 1 + \tan^2 A = 1 + \left(\frac{n}{m}\right)^2 = 1 + \frac{n^2}{m^2} = \frac{m^2 + n^2}{m^2}$

আবার, যেহেতু $\tan A = \frac{n}{m}$, তাই $\cot A = \frac{m}{n}$

অতএব,

${\rm cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A = 1 + \left(\frac{m}{n}\right)^2 = 1 + \frac{m^2}{n^2} = \frac{n^2 + m^2}{n^2}$

এখন, বামপক্ষ $= \frac{\sec^2 A + {\rm cosec}^2 A}{\sec^2 A - {\rm cosec}^2 A}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\frac{m^2 + n^2}{m^2} + \frac{n^2 + m^2}{n^2}}{\frac{m^2 + n^2}{m^2} - \frac{n^2 + m^2}{n^2}}$

লব ও হরে $(m^2 + n^2)$ কমন নিয়ে পাই,

$= \dfrac{(m^2 + n^2) \left(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}\right)}{(m^2 + n^2) \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right)}$

লব ও হরের $(m^2 + n^2)$ বাদ দিলে থাকে,

$= \dfrac{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}}$

লসাগু করে পাই,

$= \dfrac{\frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}}{\frac{n^2 - m^2}{m^2 n^2}}$

$= \frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2} \times \frac{m^2 n^2}{n^2 - m^2}$

$= \frac{n^2 + m^2}{n^2 - m^2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{\sec^2 A + {\rm cosec}^2 A}{\sec^2 A - {\rm cosec}^2 A} = \frac{n^2 + m^2}{n^2 - m^2}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m \sin A = n \cos A$

প্রশ্নমতে, $m = 1$ এবং $n = 1$ হলে,

$1 \cdot \sin A = 1 \cdot \cos A$

বা, $\sin A = \cos A$

বা, $\frac{\sin A}{\cos A} = 1$

বা, $\tan A = 1$

বা, $\tan A = \tan 45^\circ$

$\therefore A = 45^\circ$

আবার উদ্দীপক হতে পাই,

${\rm cosec}\ (A-B) = 2$

বা, ${\rm cosec}\ (A-B) = {\rm cosec}\ 30^\circ$

$\therefore A - B = 30^\circ$

এখানে $A = 45^\circ$ বসিয়ে পাই,

বা, $45^\circ - B = 30^\circ$

বা, $45^\circ - 30^\circ = B$

$\therefore B = 15^\circ$

সুতরাং, $B$ এর নির্ণেয় মান $15^\circ$। Answer

Previous See All Next