ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২৬

২৬ (i) $\triangle ABC$-এ, $\angle B = 90^\circ$ এবং $\tan A = \frac{3}{4}$
(ii) $4 \sin (x+y) = \sqrt{12}$, $\sqrt{3} \tan (x-y) = 1$

• (ক) $\theta = 60^\circ$ হলে, $4 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $( {\rm cosec}\ A + \cot A)^2 = \frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}$
• (গ) (ii) নং হতে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\theta = 60^\circ$

প্রদত্ত রাশি:

$= 4 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$

মান বসিয়ে পাই,

$= 4 \sin^2 60^\circ - \cos^2 60^\circ$

$= 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$= 4 \left(\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{4}$

$= 3 - \frac{1}{4}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{12 - 1}{4}$

$= \frac{11}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{11}{4}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$ এবং $\tan A = \frac{3}{4}$

আমরা জানি, $\tan A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}$

ধরি, লম্ব $BC = 3k$ এবং ভূমি $AB = 4k$ (যেখানে $k > 0$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা)।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, অতিভুজ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$

$= \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2}$

$= \sqrt{16k^2 + 9k^2}$

$= \sqrt{25k^2} = 5k$

এখন, $\angle A$ এর সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ:

${\rm cosec}\; A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}} = \frac{AC}{BC} = \frac{5k}{3k} = \frac{5}{3}$

$\cot A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}$

$\cos A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= ({\rm cosec}\; A + \cot A)^2$

$= \left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right)^2$

$= \left(\frac{5 + 4}{3}\right)^2$

$= \left(\frac{9}{3}\right)^2$

$= (3)^2 = 9$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}$

$= \frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}}$

$= \frac{\frac{5 + 4}{5}}{\frac{5 - 4}{5}}$

$= \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}}$

$= \frac{9}{5} \times \frac{5}{1} = 9$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $( {\rm cosec}\ A + \cot A)^2 = \frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$4 \sin (x+y) = \sqrt{12}$ ........ (i)

এবং $\sqrt{3} \tan (x-y) = 1$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) হতে,

$4 \sin (x+y) = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

বা, $\sin (x+y) = \frac{2\sqrt{3}}{4}$

বা, $\sin (x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

আমরা জানি, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin (x+y) = \sin 60^\circ$

$\therefore x + y = 60^\circ$ ........ (iii)

আবার, সমীকরণ (ii) হতে,

$\sqrt{3} \tan (x-y) = 1$

বা, $\tan (x-y) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan (x-y) = \tan 30^\circ$

$\therefore x - y = 30^\circ$ ........ (iv)

এখন, সমীকরণ (iii) ও (iv) যোগ করে পাই,

$(x + y) + (x - y) = 60^\circ + 30^\circ$

বা, $2x = 90^\circ$

বা, $x = \frac{90^\circ}{2}$

$\therefore x = 45^\circ$

এখন, সমীকরণ (iii) হতে সমীকরণ (iv) বিয়োগ করে পাই,

$(x + y) - (x - y) = 60^\circ - 30^\circ$

বা, $x + y - x + y = 30^\circ$

বা, $2y = 30^\circ$

বা, $y = \frac{30^\circ}{2}$

$\therefore y = 15^\circ$

সুতরাং, $x = 45^\circ$ এবং সচিব $y = 15^\circ$। Answer

Previous See All Next