ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২৫

২৫ $x = {\rm cosec}\; \theta$, $y = \sec \theta$ এবং $z = \tan \theta$; যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\tan \left( 90^\circ - A \right) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x + \frac{1}{x} = a$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos \theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$
• (গ) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{2}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan (90^\circ - A) = \sqrt{3}$

আমরা জানি, পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুসারে $\tan(90^\circ - A) = \cot A$

বা, $\cot A = \sqrt{3}$

আবার, আমরা জানি $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$

বা, $\cot A = \cot 30^\circ$

$\therefore A = 30^\circ$

সুতরাং, $A$ এর নির্ণেয় মান $30^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$x = {\rm cosec}\; \theta$

দেওয়া আছে,

$x + \frac{1}{x} = a$

$x$ এর মান বসিয়ে পাই,

${\rm cosec}\; \theta + \frac{1}{{\rm cosec}\; \theta} = a$

আমরা জানি, $\frac{1}{{\rm cosec}\; \theta} = \sin \theta$

$\therefore {\rm cosec}\; \theta + \sin \theta = a$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$({\rm cosec}\; \theta + \sin \theta)^2 = a^2$

বা, $({\rm cosec}\; \theta - \sin \theta)^2 + 4 \cdot {\rm cosec}\; \theta \cdot \sin \theta = a^2$    [যেহেতু $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$]

বা, $({\rm cosec}\; \theta - \sin \theta)^2 + 4 \left(\frac{1}{\sin \theta}\right) \cdot \sin \theta = a^2$

বা, $({\rm cosec}\; \theta - \sin \theta)^2 + 4 = a^2$

বা, $({\rm cosec}\; \theta - \sin \theta)^2 = a^2 - 4$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

${\rm cosec}\; \theta - \sin \theta = \sqrt{a^2 - 4}$

এখন, আমরা জানি যে কোনো রাশির বর্গের মান:

$({\rm cosec}\; \theta - \sin \theta)^2 = ({\rm cosec}\; \theta + \sin \theta)^2 - 4{\rm cosec}\; \theta \sin \theta = a^2 - 4$

বিকল্প সহজ পদ্ধতিতে প্রমাণটি নিচে করা হলো:

দেওয়া আছে, ${\rm cosec}\; \theta + \frac{1}{{\rm cosec}\; \theta} = a$

বা, $\frac{1}{\sin \theta} + \sin \theta = a$

বা, $\frac{1 + \sin^2 \theta}{\sin \theta} = a$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{(1 + \sin^2 \theta)^2}{\sin^2 \theta} = a^2$

বা, $\frac{(1 + \sin^2 \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta} = a^2$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

$\frac{(1 + \sin^2 \theta)^2 + (1 - \cos^2 \theta)}{(1 + \sin^2 \theta)^2 - (1 - \cos^2 \theta)} = \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1}$

এখানে মান বসিয়ে ও সমাধান করলে সরাসরি পাওয়া যায়:

বা, $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1} = \cos \theta$

$\therefore \cos \theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$x = {\rm cosec}\; \theta$ এবং $y = \sec \theta$

দেওয়া আছে,

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{2}$

$x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{1}{{\rm cosec}\; \theta} + \frac{1}{\sec \theta} = \sqrt{2}$

আমরা জানি, $\frac{1}{{\rm cosec}\; \theta} = \sin \theta$ এবং $\frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$

$\therefore \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2$

বা, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 2$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 2$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 2 - 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1$

উভয়পক্ষকে $\cos^2 \theta$ দ্বারা ভাগ করে বা সাইন-কোসাইন সমান করার মাধ্যমে পাই,

যেহেতু $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$, উভয়পক্ষ থেকে পাই $\sin \theta = \cos \theta$    [যেহেতু উভয় কোণ সমান হলে মান মিলে]

বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$

বা, $\tan \theta = 1$

আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

যেহেতু $\theta$ একটি সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, $\theta$ এর নির্ণেয় মান $45^\circ$। Answer

Previous See All Next